Matematyka strat: asymetria odrabiania i ryzyko ruiny

Obsunięcie kapitału o 10% wymaga 11,1% zwrotu, żeby wrócić na poprzedni szczyt. Obsunięcie o 50% wymaga 100%. Obsunięcie o 90% — 900%. Te trzy liczby wychodzą z jednego wzoru, który nie wymaga żadnych danych rynkowych, i to on wyznacza kształt całego artykułu. Drugi wzór, ryzyko ruiny (ang. risk of ruin), mówi coś zupełnie innego i ma zupełnie inny status: jest wynikiem modelu opartego na przyjętym rozkładzie i na parametrach oszacowanych z próby. Rozdzielenie tych dwóch rzeczy jest ważniejsze niż którakolwiek pojedyncza liczba poniżej.

Trzy parametry wejściowe, z których korzystają wszystkie rachunki niżej. Żadnego z nich ten artykuł nie wyprowadza — robi to artykuł 9.6, a tutaj wchodzą wyłącznie jako liczby podawane na wejściu.

• Trafność (p): wchodzi do wzoru z sekcji 3 i do symulacji; wartość ilustracyjna używana dalej to 55%.
• Relacja zysku do straty (RR): ustawia wielkość wygranej wobec przegranej w rozkładzie, z którego losuje symulacja; ilustracyjnie 1:1,5, a w sekcjach 3 i 11 celowo 1:1, bo tylko przy niej obowiązuje wzór ruiny gracza.
• Wartość oczekiwana: liczba podstawiana do rachunku ryzyka ruiny i do symulacji, ilustracyjnie +0,54R brutto i +0,35R po koszcie wykonania (sekcja 8).

1. Wyprowadzenie i pełna tabela odrabiania — od −5% do −90%

Kapitał po obsunięciu o ułamek DD mierzonym od szczytu wynosi K × (1 − DD). Żeby wrócić do K, ta pomniejszona kwota musi urosnąć o brakującą różnicę K × DD, a zwrot liczy się od tego, co zostało po stracie:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K skraca się i znika, więc wynik nie zależy ani od wielkości rachunku, ani od instrumentu, ani od zbioru reguł. To tożsamość arytmetyczna: prawdziwa z definicji, bez żadnych danych. Cała reszta artykułu takiego statusu już nie ma: ryzyko ruiny i symulacja są wynikami modeli.

Podstawienie dla −50%: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, czyli +100%. Dla −20%: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, czyli +25%. W artykule 9.1 stoi skrócona wersja tej tabeli; poniżej pełna, z dwiema kolumnami mówiącymi, ile transakcji o zadanej wartości oczekiwanej trzeba na taki zwrot. Każda z trzech kolumn liczbowych ma inną bazę i nie wolno ich mieszać.

Bazy trzech kolumn są różne i to jest jedyny sposób, żeby tabela nie wprowadzała w błąd. Obsunięcie mierzone jest od szczytu przebiegu kapitału. Zwrot do odrobienia liczony jest od dna, czyli od kapitału po stracie, i dlatego −50% wymaga +100%, a nie +50%. Obie kolumny z liczbą transakcji zakładają wartość oczekiwaną +0,4% na transakcję, ale liczoną od dwóch różnych baz.
A) Stała kwota ryzyka: każda transakcja wnosi średnio +0,4% kapitału startowego (przy starcie 10 000 PLN stałe 40 PLN), niezależnie od bieżącego stanu rachunku. Wzór: N = DD / 0,004. Straty są w tej średniej już policzone: wartość oczekiwana sumy N wyników wynosi N × 0,004 × K0 i zrównuje się z brakującym DD × K0 dokładnie przy N = DD / 0,004, bez względu na to, ile w tej serii wypadło transakcji stratnych. Rachunek zakłada natomiast, że każda transakcja przynosi dokładnie średnią, więc N opisuje drogę przeciętną, a nie tę, którą przejdzie pojedynczy rachunek; rozrzut wokół niej pokazuje sekcja 6. Wielkość brutto: koszt tych transakcji jest pominięty, więc liczba jest oszacowaniem dolnym.
B) Stały procent kapitału (ang. fixed fractional): ta sama wartość oczekiwana, ale liczona od kapitału bieżącego, który po obsunięciu jest mniejszy. Wzór: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Dłużej niż w kolumnie A, bo każdy zysk liczy się od mniejszej bazy.
Obie kolumny podają liczbę transakcji. Przeliczenie na czas wymaga własnej częstotliwości handlu; przykład niżej.

Przeliczenie na czas dla kolumny B, przy dwóch częstotliwościach. Zestawienie na wartościach ilustracyjnych; zakłada, że średnia +0,4% na transakcję utrzyma się przez cały okres odrabiania, czego nic nie gwarantuje. Kolumna z transakcjami podaje wartość dokładną z wzoru kolumny B (przed zaokrągleniem), dzięki czemu miesiące odtwarzają się wprost: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

Funkcja Z = DD/(1 − DD) jest rosnąca i wypukła na całej dziedzinie od 0 do 1 — nie ma w niej żadnego progu, przy którym „coś się zmienia". Przyrost jest ciągły: między −5% a −20% wymagany zwrot rośnie z +5,3% do +25%, między −20% a −50% z +25% do +100%, powyżej −50% z +100% do +900%. Każdy próg, przy którym handel ma zostać ograniczony albo przerwany, jest decyzją zapisaną z góry; wzór jej nie podpowiada. Skąd taki próg brać i jak zapisać warunek wznowienia, rozstrzyga artykuł 9.8.

Jedna konsekwencja wykracza poza sam czas odrabiania: obsunięcie zmniejsza kapitał bieżący, a to właśnie kapitał bieżący jest wielkością porównywaną z progiem przymusowego zamknięcia, liczonym łącznie dla wszystkich otwartych pozycji na rachunku. Definicje i mechanika tych wielkości należą do działu 2, wpływ luki na cenę wykonania do artykułu 9.10.

2. Odrabianie przy stałym procencie ryzyka

Przy stałym procencie kapitału bieżącego (1% na transakcję) kwota ryzyka spada razem z rachunkiem. Baza: kapitał bieżący, mierzony przed otwarciem pozycji. 1% z 10 000 PLN to 100 PLN; po serii strat 1% z 8 500 PLN to już 85 PLN. Ta sama reguła daje dwie różne kwoty, bo zmieniła się baza.

Działa ono w dwie strony jednocześnie. Kolejna strata zabiera mniej w złotych, ale kolejny zysk też daje mniej, bo liczy się od tej samej pomniejszonej bazy. Wartości ilustracyjne, rachunek w PLN, wartość oczekiwana +0,4R na transakcję:

Proporcja jest tu dokładna i wynika wprost z definicji: kwota zysku maleje w tym samym tempie co kapitał. Dlatego kolumna B w tabeli z sekcji 1 daje większe liczby niż kolumna A: przy obsunięciu −50% jest to 174 transakcje zamiast 125, czyli o 39% więcej. Obie kolumny liczą ten sam procent, tylko od innej bazy, i w tym mieści się cała różnica.

Żadna z tych dwóch reguł nie jest lepsza od drugiej, bo odpowiadają na różne pytania i mają różne konsekwencje dla wielkości pozycji, co rozstrzyga artykuł 9.5. Wybór bazy zmienia liczbę transakcji potrzebnych do odrobienia, więc podanie samego „ile trzeba odrobić" bez wskazania bazy jest niepełne.

3. Ryzyko ruiny — wzór, założenia i przeliczona tabela

Ryzyko ruiny to prawdopodobieństwo, że kapitał spadnie do zadanego progu, zanim urośnie. Próg wybiera się samodzielnie i trzeba go podać razem z wynikiem: w całej tej sekcji ruiną nazywam spadek do 50% kapitału startowego. Zmiana progu zmienia wynik, więc porównywać wolno tylko wartości policzone dla tego samego progu.

Wariant modelu i wzór

Poniższy rachunek to klasyczny model ruiny gracza^[1] w wersji dwuwynikowej: każda transakcja kończy się zyskiem albo stratą o tej samej wielkości (relacja zysku do straty 1:1), kwota ryzyka jest stała, trafność p jest stała, kolejne wyniki są niezależne, a horyzont nieskończony.

P_ruiny = (1 − przewaga1 + przewaga)^N=(1 − pp)^N

• p — trafność jako ułamek; przewaga = 2p − 1 (trafność 55% daje przewagę 0,10). Obie postacie wzoru są tożsame: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — liczba jednostek ryzyka dzielących kapitał bieżący od progu ruiny. Na starcie, przy ryzyku 2% kapitału startowego i progu −50%: N = 50% / 2% = 25. Po obsunięciu dystans liczy się od bieżącego stanu rachunku; przykład w zadaniu (sekcja 11).
• Wynik jest bezwymiarowy: nie zależy od waluty rachunku ani od wielkości kapitału, bo cała informacja o kapitale siedzi w N.

Model wymaga stałej kwoty ryzyka. Przy stałym procencie kapitału bieżącego kwota maleje razem z rachunkiem, więc żadne N z tego wzoru nie opisuje takiego przebiegu i trzeba użyć symulacji (sekcja 6).

Tabela — każda komórka odtwarzalna z wzoru powyżej

Sposób odtworzenia dowolnej komórki. Trafność 52%, ryzyko 2%: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, czyli 13,52%. Trafność 58%, ryzyko 10%: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, czyli 19,91%. Założenia, przy których ta tabela obowiązuje: ruina zdefiniowana jako spadek do 50% kapitału startowego; relacja zysku do straty 1:1; stała kwota ryzyka; stała trafność; niezależne wyniki; koszt wykonania równy zeru; horyzont nieskończony.

Cztery odczyty z tabeli, z których żaden nie jest samodzielnym zaleceniem:

• Przy trafności 55% i ryzyku 1% modelowe ryzyko ruiny wynosi 0,0044%. To wygląda bezpiecznie na papierze, ale tylko dlatego, że model zakłada relację 1:1, stałą trafność, brak kosztów i niezależność transakcji. Żadne z tych założeń nie jest w handlu spełnione ściśle. Koszt wykonania i grupowanie strat przesuwają prawdziwy wynik w górę; błąd oszacowania trafności i relacja inna niż 1:1 mogą przesunąć go w obie strony, więc kierunek trzeba za każdym razem sprawdzić osobno.
• Ta sama trafność 55% przy ryzyku 5% daje 13,44%. Pięciokrotny wzrost ryzyka na transakcję podnosi modelowe prawdopodobieństwo ruiny ponad trzy tysiące razy, bo N stoi we wzorze w wykładniku.
• Trafność 52% przy ryzyku 2% daje 13,52%. Dodatnia wartość oczekiwana i ryzyko ruiny rzędu jednej siódmej spokojnie stoją obok siebie: to dwie różne wielkości liczone z tych samych parametrów.
• Zależność ma właściwy kierunek w obie strony: ryzyko ruiny rośnie z ryzykiem na transakcję i maleje ze wzrostem trafności. Komórka, która to odwraca, jest błędem tabeli albo wzoru.

Rachunek dla dwóch poziomów ryzyka przy tych samych pozostałych parametrach

Parametry wspólne, wartości ilustracyjne: trafność 55%, relacja zysku do straty 1:1, próg ruiny −50% kapitału startowego, ryzyko liczone jako procent kapitału startowego i zamrożone w stałej kwocie.

• Ryzyko 1% na transakcję. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Logarytm: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, więc Pruiny = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Ryzyko 2% na transakcję. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, więc Pruiny = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• Różnica: podwojenie ryzyka na transakcję podnosi modelowe ryzyko ruiny 151-krotnie, przy niezmienionej trafności i niezmienionej relacji zysku do straty. Wartość oczekiwana w jednostkach R nie zmienia się przy tym wcale.

Założenia tego rachunku i kierunek, w którym zawodzą: relacja 1:1 (przy innej relacji wzór nie obowiązuje, sekcja 4); stała kwota ryzyka (przy stałym procencie ruina rozumiana jako wyzerowanie rachunku jest nieosiągalna, a próg trzeba zdefiniować jako spadek poniżej poziomu, czyli inną wielkość o innej interpretacji); stała trafność (oszacowana z próby i obarczona błędem, sekcja 9); niezależność wyników (naruszona przy grupowaniu zmienności, co wydłuża serie strat); brak kosztu wykonania (obniża wartość oczekiwaną i podnosi ryzyko ruiny, sekcja 8); horyzont nieskończony (w skończonym horyzoncie wynik jest niższy). Kierunek nie jest wspólny dla wszystkich naruszeń: koszt wykonania i zależność wyników podnoszą prawdziwe ryzyko ponad modelowe, skończony horyzont je obniża, a błąd oszacowania trafności i relacja inna niż 1:1 mogą przesunąć wynik w obie strony, dlatego kierunek stoi przy każdym założeniu osobno i nie wolno go zakładać zbiorczo.

Kontrola wzoru. Wartości z tabeli zostały porównane z niezależną symulacją błądzenia losowego na jednostkach całkowitych (50 000 przebiegów, bariera przy zerze jednostek): dla trafności 52% i N = 25 symulacja dała 13,30% wobec 13,52% ze wzoru, dla 58% i N = 5 wyszło 19,74% wobec 19,91%, a dla 60% i N = 5 jest to 13,27% wobec 13,17%. Rozbieżności mieszczą się w błędzie samego losowania.

4. Ryzyko ruiny przy relacji innej niż 1:1

Wzór z sekcji 3 opisuje zakład, w którym wygrana i przegrana mają tę samą wielkość. Zestaw reguł o trafności 38% i relacji 1:3 nie spełnia tego warunku, a podstawienie jego trafności do wzoru dla relacji 1:1 daje przewagę 2 × 0,38 − 1 = −0,24 i wniosek „ruina pewna" — podczas gdy wartość oczekiwana tego zestawu wynosi 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52R. Wzór nie jest tu błędny; jest użyty poza zakresem, w którym cokolwiek znaczy.

Istnieje przybliżenie oparte na ułamku Kelly'ego, w którym miejsce przewagi zajmuje f*:

Pruiny ≈ ((1 − f*) / (1 + f*))N, gdzie f* = p − (1 − p)/RR

Status tego wzoru. To przybliżenie własne, zbudowane przez analogię do wzoru z sekcji 3: w miejsce przewagi 2p − 1 wchodzi f*. Wzór z sekcji 3 ma formalne rozwiązanie w literaturze^[1]; to przybliżenie żadnego nie ma, więc czytaj je jako heurystykę. Obowiązuje przy tych samych założeniach co rachunek z sekcji 3 (stała kwota ryzyka, stała trafność, wyniki niezależne, horyzont nieskończony), a N podaje się do niego osobno, bo nie wynika ono z f*. Użyte niżej N = 10 odpowiada ryzyku 5% kapitału startowego przy progu ruiny −50% kapitału startowego (50%/5% = 10). Handel pozycją równą samemu f*, czyli 25% kapitału, dałby przy tym samym progu N = 2 i rachunek o zupełnie innej skali.

Przybliżenie ma dwie słabości naraz. Pierwsza dotyczy danych wejściowych: przy stałej relacji f* jest liniową funkcją trafności, natomiast od relacji zysku do straty zależy nieliniowo (wklęśle), a oba parametry są oszacowaniami z próby i ich błędy bywają skorelowane, więc sprawdzać trzeba ich wspólne pogorszenie. Dla trafności 55% i relacji 1:1,5 ułamek Kelly'ego wynosi 0,25, a po obniżeniu trafności o 3 punkty procentowe i relacji o 0,3 (do 52% i 1:1,2) już 0,12. Wysokość f*, jej wyprowadzenie i test wrażliwości samego ułamka Kelly'ego należą do artykułu 9.5; tutaj obie liczby wchodzą jako dane wejściowe i liczy się wyłącznie to, co robią z ilorazem przybliżenia. Iloraz rośnie z 0,75/1,25 = 0,60 do 0,88/1,12 = 0,786, więc przy N = 10 (ryzyko 5% kapitału startowego, próg ruiny −50%) przybliżone ryzyko ruiny rośnie z 0,60% do 8,97%, blisko piętnastokrotnie na jednym, wcale nie skrajnym błędzie oszacowania. Druga słabość: podstawienie przestaje być dokładne właśnie tam, gdzie relacja jest silnie asymetryczna. Przy obu słabościach f* pozostaje tu parametrem podstawianym do przybliżenia ryzyka ruiny, a nie tematem.

Rzetelniejszą odpowiedź daje symulacja. Poniższa tabela pochodzi z symulacji przeprowadzonej na potrzeby tego artykułu: 40 000 przebiegów po maksymalnie 500 transakcji, wynik dwuwynikowy o zadanej trafności i relacji, stały procent kapitału bieżącego, ruina zdefiniowana jako spadek do 50% kapitału startowego (przebieg jest wtedy zatrzymywany), koszt wykonania równy zeru. Wszystkie wartości są ilustracyjne. Parametry p i RR podajesz na wejściu i nic w nich nie opisuje rynku.

Symulacja własna: 40 000 przebiegów po maksymalnie 500 transakcji, stały procent kapitału bieżącego, próg ruiny −50% kapitału startowego, koszt wykonania pominięty, wyniki niezależne, rozkład dwupunktowy (zysk +RR, strata −1R). Przebieg kończy się przy pierwszym spadku do progu ruiny albo po 500 transakcjach; percentyle maksymalnego obsunięcia obejmują również przebiegi zatrzymane. 95. percentyl maksymalnego obsunięcia nie jest najgorszym przypadkiem — poza tym przedziałem rachunek nie ogranicza straty w żaden sposób. Wartość oczekiwana w drugiej kolumnie liczona jest brutto; wersja po koszcie wykonania stoi w sekcji 8. Przy innym rozkładzie wyników niż dwupunktowy te same p i RR dają inne obsunięcia.

Z tabeli wynika coś, czego wzór z sekcji 3 nie pokazuje. Przy ryzyku 1% i 2% na transakcję ruina rozumiana jako spadek o połowę jest w horyzoncie 500 transakcji zdarzeniem praktycznie nieosiągalnym dla każdego z czterech zestawów parametrów; różnicuje je wtedy rozkład obsunięcia. Ruina wraca do gry dopiero przy 5% na transakcję, i to niezależnie od tego, jak wysoka jest wartość oczekiwana: zestaw o najwyższej wartości oczekiwanej (+0,76R) ma przy 5% ryzyka wyższe ryzyko ruiny niż zestaw o wartości +0,34R, bo pojedyncza strata zabiera mu ten sam procent kapitału, a strat ma więcej.

Prawdopodobieństwo napotkania serii k strat w ciągu N transakcji jest osobnym pytaniem, o innej odpowiedzi niż (1 − p)k, a jego rachunek dla zadanej trafności i długości ciągu prowadzi artykuł 9.1 w sekcji 4; artykuł 9.3 używa założonej długości serii już jako danej wejściowej, przy wyprowadzaniu limitu ryzyka.

5. Kolejność wyników — ten sam zbiór, dwa przebiegi

Dział 8 zostawia w tym miejscu obietnicę do rozliczenia: kolejność wyników ma znaczenie dla drogi, choć nie ma go dla punktu końcowego. To zdanie da się sprawdzić rachunkiem na dziesięciu liczbach.

Zbiór wyników jest w obu przebiegach identyczny — cztery zyski (+2R, +2R, +1,5R, +1,5R) i sześć strat po −1R, razem +1R na dziesięciu transakcjach, czyli wartość oczekiwana +0,10R. Reguła wielkości pozycji: stały procent kapitału bieżącego, 1% na transakcję. Kapitał startowy 100 jednostek; wynik jest bezwymiarowy, więc liczba jednostek nie ma znaczenia. Limit przyjęty z góry: obsunięcie −5% od szczytu.

Obsunięcie mierzone od szczytu przebiegu kapitału, po każdej transakcji. Kapitał po transakcji: K × (1 + 0,01 × R). Zaokrąglenia w tabeli do trzech miejsc; rachunek prowadzony bez zaokrągleń pośrednich.

Punkt końcowy jest identyczny co do miejsca dziesiętnego: 100,912 w obu wariantach, czyli +0,912%. Ta zbieżność ma czysto rachunkowy powód. Kapitał końcowy przy stałym procencie to iloczyn K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), a mnożenie jest przemienne — kolejność czynników nie zmienia iloczynu. Przy stałej kwocie ryzyka zachodzi to samo, tyle że przez przemienność dodawania.

Reszta się różni. Maksymalne obsunięcie wynosi 3,94% w wariancie A i 5,85% w wariancie B, o połowę więcej przy tych samych dziesięciu wynikach. Limit −5% zostaje przekroczony w wariancie B na szóstej transakcji, a w wariancie A nie zostaje przekroczony ani razu. Jeżeli limit uruchamia przerwanie handlu, to przy tym samym zbiorze wyników jeden przebieg kończy się na dziesiątej transakcji z wynikiem +0,912%, a drugi urywa się na szóstej z wynikiem −5,85% — i cztery zyski, które są w zbiorze, nigdy nie zostają zrealizowane.

Praktyczny wniosek jest dwuwarstwowy. Wartość oczekiwana opisuje punkt końcowy i milczy o drodze: dwa przebiegi o identycznej wartości oczekiwanej mogą mieć zupełnie różne obsunięcia. Obsunięcie zmierzone na jednej historycznej sekwencji jest więc jedną realizacją z całej rodziny możliwych; żeby zobaczyć całą rodzinę możliwych dróg, kolejność trzeba losować — i o tym jest następna sekcja.

6. Symulacja rozkładu wyników — co się losuje i czego wynik nie mówi

Test historyczny pokazuje jedną sekwencję: tę, która się wydarzyła. Symulacja Monte Carlo buduje z tego samego materiału rozkład możliwych przebiegów, a przy okazji trzeba rozdzielić dwie operacje, które bywają opisywane jednym słowem. Permutacja przestawia dokładnie ten sam zbiór wyników: skład i punkt końcowy zostają, zmienia się wyłącznie droga; to jest test czystego ryzyka kolejności, wykonany ręcznie w sekcji 5. Losowanie ze zwracaniem traktuje próbkę jak rozkład, z którego ciągnie się nowe listy: część obserwacji pomija, inne powiela, więc zmienia także skład i punkt końcowy każdego przebiegu. Procedura z sekcji 7 używa losowania ze zwracaniem.

Co dokładnie się losuje: pojedynczy wynik transakcji wyrażony w jednostkach R, z rozkładu empirycznego zbudowanego z własnej ewidencji (losowanie ze zwracaniem) albo z rozkładu dwupunktowego zadanego przez trafność i relację zysku do straty. Założenie o niezależności: każde losowanie jest niezależne od poprzedniego, co w handlu jest naruszone, bo zmienność się grupuje, a serie strat bywają dłuższe niż w modelu. Liczba powtórzeń: im więcej, tym stabilniejsze percentyle; w symulacjach z tego artykułu: 50 000 przebiegów w kontroli wzoru w sekcji 3, 40 000 w sekcji 4, 30 000 w sekcji 8 i osiem przykładowych ścieżek na wykresie poniżej; liczba za każdym razem podana razem z wynikiem.

Z rozkładu odczytuje się cztery wielkości:

• Mediana maksymalnego obsunięcia: obsunięcie, powyżej którego wypada połowa przebiegów. Nie jest ani prognozą, ani limitem.
• 95. percentyl maksymalnego obsunięcia. To nie jest najgorszy scenariusz. To najgorszy scenariusz, który ten model jeszcze potrafi sobie wyobrazić. Poza tym przedziałem rachunek nie ogranicza straty w żaden sposób, a zdarzenia z luką cenową opisuje artykuł 9.10.
• Ryzyko ruiny: odsetek przebiegów, w których kapitał spadł do zadanego progu. Wielkość zależna od progu: bez podanego progu jest bez znaczenia.
• Rozstęp wyniku końcowego, czyli przedział, w którym mieści się zadany odsetek przebiegów przy niezmienionych parametrach. Na pytanie o wysokość zysku nie odpowiada.

Rozstęp poszerza się z każdą transakcją, bo odchylenie sumy wyników rośnie z pierwiastkiem ich liczby, podczas gdy sama suma rośnie liniowo. Dłuższy horyzont poszerza więc wachlarz możliwych dróg i zwiększa szansę napotkania głębokiego obsunięcia po drodze. Osobną sprawą jest wiedza o parametrach: dłuższa niezależna próbka zawęża błąd oszacowania średniej jak 1/√n (sekcja 9), a te dwa kierunki nie są sprzeczne, bo odpowiadają na dwa różne pytania.

Trzeba przy tym rozdzielić dwie liczby, które łatwo pomylić, bo obie są „liczbą transakcji". Długość pojedynczego przebiegu w symulacji jest wyborem horyzontu: 500 transakcji to pytanie „co się może zdarzyć w ciągu 500 transakcji". Wielkość własnej próbki to liczba transakcji, z których zbudowany jest rozkład wejściowy, i tylko ona decyduje o tym, jak dokładnie znasz parametry. Wylosowanie 500 wyników z puli stu nie tworzy nowej informacji: przedział ufności dla wartości oczekiwanej pozostaje taki, jaki wynika ze stu obserwacji (sekcja 9).

7. Symulacja krok po kroku

Do przeprowadzenia symulacji nie potrzeba niczego poza listą własnych wyników w jednostkach R i narzędziem, które umie losować. Arkusz kalkulacyjny wystarcza do kilkuset przebiegów; powyżej wygodniejszy jest krótki skrypt.

a) Dane wejściowe

Symulacja jest tak dobra, jak lista, którą się do niej wkłada. Dla każdej zamkniętej transakcji potrzebny jest jeden wynik w jednostkach R, policzony po kosztach: R = (wynik w walucie rachunku po prowizji, punktach swapowych i poślizgu) / (kwota ryzyka zaplanowana przy wejściu). Mianownik to ryzyko zaplanowane, a nie zrealizowane, dzięki czemu strata zakończona poślizgiem daje wynik gorszy niż −1,00R i to widać w rozkładzie. Wynik dodatni jest zyskiem netto liczonym w tych samych jednostkach.

b) Procedura

1. Zbuduj listę wyników w jednostkach R z własnej ewidencji, po jednym na zamkniętą transakcję.
2. Losuj ze zwracaniem. Długość pojedynczego przebiegu ustaw na horyzont, o który pytasz. Jeżeli pytasz o rozkład obsunięcia przy próbce, którą już masz, ustaw ją równą liczebności własnej próbki; przedział ufności dla parametrów nie zawęża się od tego, że losujesz więcej.
3. Przelicz kapitał po każdej wylosowanej transakcji według własnej reguły wielkości pozycji: przy stałym procencie K ← K × (1 + r × R), przy stałej kwocie K ← K + kwota × R.
4. Powtórz tyle razy, żeby percentyle przestały się zmieniać między uruchomieniami, zwykle kilka do kilkudziesięciu tysięcy przebiegów.
5. Odczytaj medianę i 95. percentyl maksymalnego obsunięcia, odsetek przebiegów poniżej progu ruiny oraz rozstęp wyniku końcowego. Zapisz razem z nimi wszystkie założenia; po miesiącu tylko one pozwolą odtworzyć, skąd te liczby wyszły.

c) Co dokładnie mówi każda z odczytanych liczb

Progu akceptowalności nie ma w tej tabeli celowo. „Ryzyko ruiny poniżej 1%" jest wyborem, nie wynikiem, a wybór zależy od tego, jaki procent kapitału jesteś w stanie wyłączyć z użycia i na jak długo. Zapis takiego progu razem z warunkiem zatrzymania i wznowienia należy do artykułu 9.8.

d) Skrypt

Podmień tablicę wyników na własne wartości w jednostkach R. Skrypt liczy w dwóch trybach: na wynikach już policzonych po kosztach albo na wynikach brutto z doliczeniem kosztu jako parametru losowego.

import numpy as np

def symulacja(wyniki_R, powtorzenia=20_000, dlugosc=None,
              ryzyko=0.01, prog_ruiny=0.50,
              wyniki_juz_netto=True,
              koszt_R_srednia=0.06, koszt_R_odchylenie=0.02,
              ziarno=7):
    """
    Rozklad wynikow przy losowaniu ze zwracaniem z wlasnej listy wynikow w R.

    ZALOZENIA, ktore ten kod przyjmuje i ktorych nie sprawdza:
      - kolejne wyniki sa niezalezne (w handlu naruszone);
      - parametry sa stale w calym horyzoncie;
      - rozklad przyszlych wynikow jest taki jak rozklad w probce.

    dlugosc=None  -> dlugosc przebiegu rowna liczebnosci wlasnej probki.
       Ustawienie dluzszego przebiegu jest pytaniem o inny horyzont,
       a NIE zawezeniem przedzialu ufnosci dla parametrow.

    wyniki_juz_netto=True  -> lista jest po kosztach, kod nic nie dolicza.
    wyniki_juz_netto=False -> kod odejmuje koszt jako parametr losowy.
       Nie uzywaj obu naraz - policzysz koszt dwa razy.
    """
    rng = np.random.default_rng(ziarno)   # ziarno ustala powtarzalnosc losowania
    wyniki_R = np.asarray(wyniki_R, dtype=float)
    if dlugosc is None:
        dlugosc = len(wyniki_R)

    ruiny = 0
    maks_obsuniecia = []

    for _ in range(powtorzenia):
        kapital = 1.0          # wynik jest bezwymiarowy
        szczyt = 1.0
        maks_obsuniecie = 0.0
        probka = rng.choice(wyniki_R, size=dlugosc, replace=True)

        for r in probka:
            if not wyniki_juz_netto:
                koszt = abs(rng.normal(koszt_R_srednia, koszt_R_odchylenie))
                r = r - koszt

            kapital *= (1 + ryzyko * r)     # staly procent kapitalu biezacego
            szczyt = max(szczyt, kapital)
            maks_obsuniecie = max(maks_obsuniecie, (szczyt - kapital) / szczyt)

            if kapital <= (1 - prog_ruiny):
                ruiny += 1
                break

        maks_obsuniecia.append(maks_obsuniecie)

    return {
        "ryzyko ruiny": ruiny / powtorzenia,
        "mediana maks. obsuniecia": float(np.median(maks_obsuniecia)),
        "95. percentyl maks. obsuniecia": float(np.percentile(maks_obsuniecia, 95)),
        "dlugosc przebiegu": dlugosc,
        "liczebnosc probki": len(wyniki_R),
    }

# Wartosci syntetyczne (przyklad do uruchomienia) - podmien na wlasne wyniki
# w jednostkach R, po kosztach, jeden na zamknieta transakcje:
moje_wyniki = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(symulacja(moje_wyniki, ryzyko=0.01))

Wynik jest bezwymiarowy: kapitał startowy przyjęto jako 1, więc obsunięcia i próg ruiny są ułamkami kapitału startowego niezależnie od waluty rachunku. Linia kapital *= (1 + ryzyko * r) odpowiada stałemu procentowi kapitału bieżącego; dla stałej kwoty ryzyka zastąp ją dodawaniem. Domyślny koszt 0,06R jest wartością ilustracyjną i przy krótkiej odległości wyjścia obronnego bywa wielokrotnie wyższy; jak wchodzi do rachunku, pokazuje sekcja 8. Lista moje_wyniki zawiera dwadzieścia wartości wyłącznie po to, żeby kod dało się uruchomić; przy takiej próbce przedział ufności dla wartości oczekiwanej jest szerszy niż sama wartość oczekiwana.

8. Koszt wykonania jako parametr wejściowy

Do wzoru na ryzyko ruiny i do symulacji wchodzi wartość oczekiwana. Jeżeli wchodzi w wersji brutto, to i wynik jest brutto, a różnica nie jest kosmetyczna, bo koszt obciąża każdą transakcję z osobna, także tę stratną. Ten artykuł nie opisuje, skąd te składniki się biorą ani od czego zależą: robi to dział 2, a warunki wykonania u pośredników opisują działy 11–13. Tutaj koszt jest jedną liczbą wejściową i liczy się tylko to, co robi z rachunkiem.

Ten sam koszt w pipsach zabiera tym większy ułamek R, im bliżej wejścia stoi wyjście obronne; wielkość pozycji i odległość wyjścia rozstrzyga artykuł 9.5. Niżej koszt wchodzi już jako gotowa liczba w jednostkach R.

Przeliczenie: ten sam zestaw parametrów brutto i netto

Dane wejściowe, wartości ilustracyjne: pozycja na parze głównej, odległość wyjścia obronnego 50 pipsów, pozycja przeniesiona przez cztery noce, ryzyko zaplanowane 1R. Składniki kosztu, każdy podany osobno:

• pełny spread za cały obrót — różnica między ceną kupna przy wejściu a ceną sprzedaży przy wyjściu, 4 pipsy przy odległości 50 pipsów: −0,08R. Spread rozlicza się dokładnie raz; rozbicie go na „wejście” i „wyjście” po pełnej wartości policzyłoby ten sam koszt dwukrotnie
• założony poślizg: −0,03R
• punkty swapowe za cztery noce: −0,08R
• razem: −0,19R na transakcję, niezależnie od tego, czy skończy się zyskiem, czy stratą

Skutek dla pojedynczej transakcji: zysk brutto +1,80R daje netto +1,61R, a strata brutto −1,00R daje netto −1,19R. Koszt obciąża obie strony w tę samą stronę.

Skutek dla wartości oczekiwanej przy trafności 55%:

• brutto: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540R
• netto: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350R
• różnica: −0,19R, czyli spadek o 35,2% wartości oczekiwanej brutto — dokładnie o koszt jednostkowy, bo koszt doliczany do każdej transakcji obniża wartość oczekiwaną o pełną swoją wielkość.

Skutek dla rozkładu wyników — symulacja własna, 30 000 przebiegów po maksymalnie 500 transakcji (przebieg zatrzymywany przy pierwszym spadku do progu), stały procent kapitału bieżącego, próg ruiny −50%:

Ta sama trafność, ta sama relacja zysku do straty, ta sama reguła wielkości pozycji; jedyna różnica to doliczony koszt. Mediana maksymalnego obsunięcia rośnie o 38% przy ryzyku 1% (z 7,9% do 10,9%) i o 36% przy 2%; 95. percentyl rośnie o 44% i o 39%, a poza tym percentylem strata nie jest ograniczona przez ten rachunek. Ryzyko ruiny w tym horyzoncie pozostaje w obu wariantach poniżej setnej części procenta, dlatego skutek kosztu widać dopiero w rozkładzie obsunięcia. Wartości ilustracyjne; percentyle obejmują również przebiegi zatrzymane na progu ruiny, a przy naruszeniu założenia o niezależności wyników obsunięcia są głębsze.

9. Ile transakcji stoi za oszacowaniem parametrów

Trafność i relacja zysku do straty, które wstawiasz do wzoru z sekcji 3, są oszacowaniami z próby i mają błąd. Półszerokość 95% przedziału ufności dla wartości oczekiwanej wynosi 1,96 × σ / √n, gdzie σ to odchylenie standardowe pojedynczego wyniku w jednostkach R, a n — liczba obserwacji. Poniżej przy σ = 1,5R, wartość przyjęta ilustracyjnie:

Rachunek: 1,96 × 1,5 / √n. Dla n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Przy odchyleniu większym niż 1,5R (a zestaw o relacji 1:3 i wielu drobnych stratach je ma) te same przedziały wymagają odpowiednio większych prób. Wzór zakłada niezależność obserwacji i opiera się na przybliżeniu normalnym dla średniej (centralne twierdzenie graniczne), więc przy małych próbach i mocno skośnych rozkładach wyników przedział jest orientacyjny, a σ = 1,5R jest wartością przyjętą ilustracyjnie. Przy zależnych wynikach efektywna liczba obserwacji jest mniejsza od liczby transakcji, a rzeczywisty przedział szerszy.

Wiersz z czterystoma transakcjami trzeba przeczytać uważnie. Istotność jest relacją między wielkością efektu, jego błędem i przyjętym poziomem; sama liczba transakcji o niej nie przesądza. Przy półszerokości ±0,15R oszacowanie +0,10R daje przedział od −0,05R do +0,25R, który obejmuje zero: taki wynik po czterystu transakcjach nie jest odróżnialny od braku przewagi. Żeby wartość oczekiwana rzędu +0,10R przestała obejmować zero przy σ = 1,5R, potrzeba n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 obserwacji. Ta sama tabela dla +0,40R wygląda zupełnie inaczej: tam wystarczy setka.

Odpowiedź na pytanie „ile transakcji" brzmi więc: to zależy od tego, jak duży efekt chcesz odróżnić od zera i jak rozrzucone są twoje wyniki. Każdy próg podany bez tych dwóch liczb, czy to sto, czy dwieście, czy pięćset, jest zwyczajem, a nie wynikiem rachunku.

10. Czego ten rachunek nie mówi

Wzór użyty poza swoim zakresem

Podstawienie trafności do wzoru dla relacji 1:1, kiedy relacja wynosi 1:3, daje wynik pozbawiony sensu: przy trafności 35% przewaga wychodzi 2 × 0,35 − 1 = −0,30 i wniosek „ruina pewna", podczas gdy wartość oczekiwana tego zestawu to 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40R. Sam wzór pozostaje przy tym poprawny: został jedynie zastosowany do zakładu, którego nie opisuje; zakres stosowalności należy do wzoru na równi z jego prawą stroną.

Wartość oczekiwana podstawiona w wersji brutto

Koszt wykonania obciąża każdą transakcję, także stratną, więc obniża wartość oczekiwaną dokładnie o swoją wielkość, w przykładzie z sekcji 8 o 0,19R, czyli o 35,2% wartości brutto. Ryzyko ruiny policzone na wartości brutto jest oszacowaniem dolnym.

Założenie o niezależności wyników

Losowanie ze zwracaniem zakłada, że wynik kolejnej transakcji nie zależy od poprzedniego. Grupowanie zmienności to udokumentowana własność szeregów finansowych, obserwowana również na kursach walutowych; jego modelowe ujęcie wprowadził Engle^[4]. Na poziomie wyników reguły przekłada się to na serie strat dłuższe niż w modelu niezależnym, choć siłę tego efektu trzeba sprawdzić na własnym szeregu. Kierunek błędu jest jednoznaczny: symulacja z niezależnymi losowaniami zaniża prawdopodobieństwo długich serii i głębokość obsunięcia. Sposób uwzględnienia zależności podaje blok dla zaawansowanych na końcu artykułu.

Rozkład zbudowany z tego, co już się zdarzyło

Losowanie z własnej próbki odtwarza wyłącznie te wyniki, które w niej są. Rozkłady zmian kursów mają ogony grubsze od normalnego^[2], a pojedyncze zdarzenie potrafi dać stratę wielokrotnie większą od zaplanowanej; jeżeli w próbce nie ma ani jednej takiej obserwacji, symulacja nie wygeneruje jej ani razu, choćby przebiegów było milion. Wynik losowania z próbki pozbawionej skrajnych obserwacji traktuj jako oszacowanie optymistyczne w ogonie rozkładu. Praktyczne uzupełnienie to osobny rachunek warunkowy: policz wynik przy założeniu, że jedna transakcja na dwieście kończy się na −5R, i drugi przy jednej na pięćset kończącej się na −10R. Wynik takiego rachunku mówi tylko tyle, ile jedno takie zdarzenie zabiera z kapitału.

Założenie o stabilności parametrów

Trafność i relacja zysku do straty wstawiane do wzoru pochodzą z przeszłości i mają błąd oszacowania z sekcji 9. Model traktuje je jako stałe. Jeżeli zmieniają się w czasie, to wynik policzony na średniej z całego okresu jest mniej ostrożny niż wynik policzony na najgorszym podokresie, i to ta druga liczba mówi więcej o ryzyku. Ocena, czy zbiór reguł nadal działa, należy do działu 8; ten artykuł tylko przelicza skutki zadanych parametrów.

11. Zadanie samokontrolne

Dane są inne niż wszystkie użyte wyżej. Policz samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Rozwiązanie.

Punkt 1. Obsunięcie liczone od szczytu: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0,35, czyli −35%. Zwrot wymagany: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, czyli +53,8%. W złotych: brakuje 8 400 PLN, liczone od 15 600 PLN, co daje 8 400 / 15 600 = 53,8%; zgodność obu dróg jest kontrolą rachunku. Wartość jest brutto: nie obejmuje kosztu transakcji potrzebnych do odrobienia ani czasu.

Punkt 2. Model: ruina gracza, relacja 1:1, stała kwota ryzyka, horyzont nieskończony. Iloraz: (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N liczy się od kapitału bieżącego do progu ruiny, bo część drogi do progu jest już przebyta. Próg: 24 000 × (1 − 0,40) = 14 400 PLN. Kwota ryzyka: 1,5% × 24 000 = 360 PLN (stała, od kapitału startowego). Dystans: 15 600 − 14 400 = 1 200 PLN.

• Ryzyko 1,5%: N = 1 200 / 360 = 3,33, w dół do 3 pełnych jednostek. 0,8518523 = 0,6181, czyli 61,8%. Zaokrąglenie N w dół zawyża wynik, więc jest ostrożne; faktyczne przekroczenie progu następuje dopiero po czwartej stracie netto (15 600 − 4 × 360 = 14 160 < 14 400), a 0,8518524 = 52,7%; obie liczby czyta się razem ze sposobem liczenia N, i dlatego sposób trzeba podać.
• Ryzyko 3%: kwota 720 PLN, N = 1 200 / 720 = 1,67 → 1. 0,8518521 = 85,2% (przy barierze osiąganej drugą stratą: 0,8518522 = 72,6%).
• Dwa wnioski. Podwojenie ryzyka podnosi wynik z 61,8% już tylko do 85,2%, czyli 1,38 raza, bo przy N rzędu pojedynczych jednostek wykładnik przestaje działać jak wykładnik. I drugi: ten sam rachunek wykonany na starcie (N = 9 600 / 360 = 26,67 → 26) daje 1,55% — obsunięcie z punktu 1 podniosło modelowe ryzyko ruiny około czterdziestokrotnie. Po głębokim obsunięciu ryzyko ruiny przestaje być liczbą ozdobną.

Punkt 3. Wynik obowiązuje przy: relacji zysku do straty równej 1:1 (przy innej wzór nie ma zastosowania, a kierunek zmiany zależy od jej wartości); stałej kwocie ryzyka (przy stałym procencie potrzebna symulacja); stałej trafności (54% to oszacowanie z próby; przy stu obserwacjach i odchyleniu 1,5R przedział ufności dla wartości oczekiwanej ma półszerokość ±0,29R, mieści więc zestaw dodatni i ujemny, a błąd oszacowania działa w obie strony); niezależności wyników (grupowanie strat wydłuża serie i podnosi ryzyko wobec modelu); zerowym koszcie wykonania (koszt zawsze podnosi ryzyko wobec modelu); nieskończonym horyzoncie (skończony obniża wynik). Gdyby wartość oczekiwana okazała się ujemna, obie liczby z punktu 2 tracą sens, bo ryzyko ruiny wynosi wtedy 1, a wielkość pozycji wpływa wyłącznie na to, po ilu transakcjach nastąpi.

Punkt 4 nie ma jednego rozwiązania. Schemat jest ten sam: własny próg ruiny w złotych → dystans od bieżącego kapitału → podział przez własną kwotę ryzyka → N → ((1 − p)/p)N. Wynik zapisz razem z listą założeń z punktu 3: ta lista jest częścią odpowiedzi.

12. Pięć liczb, które trzeba mieć policzone

Każda z nich wymaga podania bazy i założeń; dopiero z nimi da się ją do czegokolwiek porównać:

1. Wartość oczekiwana po koszcie wykonania, w jednostkach R i w walucie rachunku, z podanym składem kosztu. Definicję i wyprowadzenie podaje artykuł 9.6.
2. Zwrot wymagany do odrobienia twojego typowego i twojego najgłębszego dotychczasowego obsunięcia, z tożsamości Z = DD/(1 − DD), liczony od dna.
3. Ryzyko ruiny przy twoim ryzyku na transakcję, z podanym progiem ruiny, wariantem modelu i listą założeń. Bez tych trzech rzeczy liczba nie znaczy nic.
4. Mediana i 95. percentyl maksymalnego obsunięcia z symulacji na własnych wynikach. Drugi z nich nie jest najgorszym przypadkiem — jest granicą, poza którą rachunek milczy.
5. Półszerokość przedziału ufności dla twojej wartości oczekiwanej przy twojej liczbie transakcji. Jeżeli przedział obejmuje zero, cztery poprzednie liczby są policzone na parametrze, którego nie znasz.

Wszystkie pięć opisuje skutki parametrów, które sam podajesz. Żadna nie orzeka, czy twój zbiór reguł ma przewagę (to pytanie należy do działu 8), i żadna nie zamienia zestawu o ujemnej wartości oczekiwanej w zyskowny.

Kolejny artykuł (9.3) odwraca kierunek tego rachunku: zamiast liczyć ryzyko ruiny dla zadanego procentu, wyprowadza dopuszczalny procent z zadanego obsunięcia i zakładanej długości serii strat.

Jarosław Wasiński

Redaktor naczelny MyBank.pl • Analityk finansowy i rynkowy

mgr Jarosław Wasiński — niezależny analityk i praktyk z ponad 20-letnim doświadczeniem w sektorze finansowym. Twórca i redaktor naczelny portalu MyBank.pl, dostarczającego rzetelną wiedzę o finansach osobistych, bankowości i inwestycjach od 2004 roku.

• Bankowość i produkty finansowe: porównania kont osobistych i firmowych, analiza taryf opłat, testy aplikacji mobilnych, recenzje kredytów, lokat i kart kredytowych — z naciskiem na realne koszty i ukryte opłaty.
• Rynki finansowe i makroekonomia: analiza fundamentalna rynków walutowych (Forex) i makroekonomicznych od 2007 roku, zarządzanie ryzykiem kapitału, struktura rynków OTC.
• Kryptowaluty: analiza rynku kryptowalut, mechanizmów blockchain i tokenizacji aktywów w kontekście portfela inwestycyjnego.

Autor setek komentarzy rynkowych, analiz porównawczych produktów bankowych i materiałów edukacyjnych. Zwolennik transparentności — każdy ranking i recenzja na MyBank.pl opiera się na jawnej metodologii i zweryfikowanych źródłach (taryfy banków, regulaminy promocji, dane NBP).

Treści mają charakter edukacyjny i informacyjny — nie stanowią porady inwestycyjnej, rekomendacji ani oferty. Decyzje finansowe podejmuj na podstawie własnej analizy i konsultacji z doradcą.