Korelacja par, ukryta ekspozycja i ryzyko portfelowe

Trzy pozycje po 1% ryzyka to nie jest jedna liczba, tylko dwie. Modelowa zmienność dziennego wyniku takiego portfela wynosi w rachunku z sekcji 7 1,53% kapitału. Suma strat przy jednoczesnym zadziałaniu wszystkich trzech wyjść obronnych wynosi 3,00%, a po doliczeniu poślizgu przyjętego ilustracyjnie (10% kwoty ryzyka na każdej nodze — parametr przykładu, nie oszacowanie rynkowe) i bez luki — 3,30%; górnego ograniczenia tej drugiej wielkości ten rachunek nie zna. Pierwsza liczba opisuje rozrzut wyniku przy ciągłym handlu. Druga to kwota, która zejdzie z rachunku, i to nią planuje się kapitał. Mylenie ich jest najczęstszym błędem w rachunku portfelowym na rynku walutowym. Dalsze rachunki prowadzą te dwie wielkości osobno.

1. Dwie liczby, które nazywa się „ryzykiem portfela"

Klasyczny wzór portfelowy Markowitza¹ opisuje modelową zmienność łączną, a nie gwarantowaną stratę przy handlu z wyjściem obronnym. To rozróżnienie wraca w większości sporów o korelację, więc stoi tu na początku, a nie w przypisie.

Wielkość wchodząca do tego wzoru pod symbolem σ to odchylenie standardowe wyniku pozycji — miara rozproszenia dziennego wyniku wokół zera. Kwota ryzyka na wyjściu obronnym jest czymś zupełnie innym: to próg obcięcia straty, wartość, przy której pozycja przestaje istnieć. Podstawienie jednej wielkości pod drugą jest błędem kategorii, a jego skutek działa w obie strony i obie są groźne.

Skutek pierwszy dotyczy korelacji ujemnej. Zdanie „przy korelacji −0,91 pozycje się neutralizują, więc twoje ryzyko efektywne wynosi 0,42% zamiast 2%" jest fałszywe jako opis straty. Modelowa zmienność dziennego wyniku faktycznie spada blisko zera, ale oba wyjścia obronne mogą zadziałać w tej samej sesji — wystarczy, że kurs najpierw pójdzie w jedną, a potem w drugą stronę, co jest zwykłym przebiegiem dnia z publikacją danych, nie scenariuszem skrajnym. Suma strat nadal wynosi wtedy 2% plus poślizg na obu nogach.

Skutek drugi dotyczy korelacji dodatniej. Zdanie „pięć pozycji po 1% przy korelacji +0,85 daje efektywne ryzyko 4,69%" czyta się jako „mniej niż 5%, mam margines". Nie ma marginesu. 4,69% to odchylenie standardowe dziennego wyniku przy założeniu, że σ każdej pozycji wynosi 1% kapitału; jeżeli wszystkie pięć wyjść zadziała, strata wynosi 5% plus poślizg na każdej z pięciu nóg.

Reszta artykułu trzyma się tego podziału: każdy rachunek podaje obie liczby obok siebie.

2. Korelacja jako miara — cztery parametry pomiaru i karta opisu

Korelacja to liczba od −1,00 do +1,00 opisująca, na ile dwie serie poruszają się razem. Sama liczba nie jest jednak daną, dopóki nie wiadomo, jak została policzona. Zmiana któregokolwiek z czterech parametrów pomiaru zmienia wynik na tyle, że rozstrzyga o wniosku.

• Okres — od kiedy do kiedy, z datą pomiaru
• Częstotliwość obserwacji — dane dzienne, godzinowe, tygodniowe
• Transformacja szeregu — poziomy kursu czy stopy zwrotu; jeżeli stopy, to zwykłe czy logarytmiczne
• Liczba obserwacji — bo od niej zależy błąd oszacowania

Korelacja liczona na poziomach kursów jest zwykle wysoka i praktycznie bezużyteczna: mierzy wspólny trend, nie współruch zwrotów. Dwie pary w długim trendzie mogą mieć korelację poziomów +0,95 przy zwrotach dziennych bliskich niezależności. Do rachunku portfelowego bierze się logarytmiczne stopy zwrotu ln(C_t/C_t−1) z zamknięć o tej samej godzinie.

Karta opisu korelacji — ta sama para, cztery zestawy parametrów

Karta A obejmuje cały kwartał, karta B jego ostatni miesiąc — tę samą parę opisują więc na dwóch różnych okresach i dwiema różnymi częstotliwościami, a dają +0,87 i +0,61. Różnica 0,26 jest wielokrotnością błędu standardowego obu oszacowań, więc nie da się jej wytłumaczyć losowością próby: to skutek doboru parametrów pomiaru. Karta C pokazuje, dlaczego transformacja nie jest szczegółem — na poziomach kursu wychodzi +0,96, wartość, z której nie wynika nic o współruchu wyników.

Kartę B od karty A dzielą jednak dwa parametry naraz, więc różnicy 0,26 nie wolno przypisać samej częstotliwości. Rozdziela je dopiero karta D: ten sam kwartał, ta sama transformacja, zmieniona wyłącznie częstotliwość — i odczyt schodzi z +0,87 na +0,64. Resztę drogi do +0,61 z karty B robi skrócenie okresu do jednego miesiąca. Kierunek tej pierwszej zmiany ma prostą przyczynę: na danych godzinowych część współruchu rozjeżdża się na sąsiednie godziny, bo obie pary nie reagują na wspólny czynnik w tej samej minucie. O teście istotności nie ma tu mowy: karty A i D opisują ten sam kwartał w dwóch rozdzielczościach, więc nie są dwiema niezależnymi próbami i wzór na błąd standardowy różnicy z sekcji 3 do nich nie ma zastosowania. Jest to pokazanie czwartego parametru osobno: przy wszystkim innym niezmienionym sama częstotliwość przesuwa odczyt o wielkość, która rozstrzyga o wniosku.

Praktyczna konsekwencja jest prosta: jeżeli budujesz portfel na korelacji dziennej, a handlujesz w oknie godzinowym, liczysz ryzyko z innej wielkości niż ta, na którą jesteś narażony. Mierz na tym horyzoncie, na którym trzymasz pozycję.

Ile z odczytu jest szumem

Błąd standardowy współczynnika korelacji przy założeniu dwuwymiarowego rozkładu normalnego i niezależnych obserwacji wynosi:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

gdzie n to liczba obserwacji zwrotów. Oba założenia są w danych walutowych naruszone — rozkłady mają grubsze ogony niż normalny, a obserwacje są zależne w czasie — więc wartości poniżej są oszacowaniem dolnym: rzeczywista niepewność jest większa.

Stąd wniosek, który przewraca popularną regułę monitoringu. Zalecenie „jeżeli korelacja 30-dniowa odchyla się o ponad 0,25 od 90-dniowej, coś się zmieniło w strukturze rynku" nie ma pokrycia w rachunku. Porównujesz dwa oszacowania, a nie jedno z liczbą pewną, więc wiąże błąd standardowy różnicy — a okna mają tu różne długości, więc SE_Δ = √(SE₃₀² + SE₉₀²). Przy ρ ≈ 0,50 to √(0,142² + 0,080²) ≈ 0,163, a próg dwóch błędów standardowych różnicy wynosi około 0,33 — i to przy założeniu prób rozłącznych. Różnica 0,25 leży poniżej progu i jest nieodróżnialna od szumu. Żeby taka różnica coś znaczyła, potrzebujesz albo dłuższego okna, albo progu wyraźnie wyższego — a i tak dostaniesz sygnał opóźniony.

Jedno zastrzeżenie do samego progu. Wzór na SE_Δ zakłada, że oba odczyty pochodzą z rozłącznych prób, a okna 30- i 90-sesyjne rozłączne nie są: krótsze zawiera się w dłuższym, więc oba odczyty liczą się częściowo z tych samych obserwacji i przestają być dwoma niezależnymi świadectwami — to jeden pomiar i jego własny podzbiór. Ścisłego progu nie da się wtedy podać bez oszacowania kowariancji obu odczytów albo bez bootstrapu. Wartość 0,40 z tabeli powyżej opisuje jeszcze inny przypadek: dwa odczyty z rozłącznych okien tej samej, 30-sesyjnej długości.

3. Okno pomiaru — wybór, nie stała

Tabela błędu standardowego z poprzedniej sekcji pokazuje tylko połowę problemu. Długość okna steruje bowiem dwoma błędami naraz, a te dwa błędy poruszają się w przeciwnych kierunkach. Krótkie okno ma duży błąd losowy i małe opóźnienie. Długie okno ma mały błąd losowy i duże opóźnienie. Nie ma okna, które minimalizuje oba — wybór długości jest kompromisem między błędem a opóźnieniem.

Opóźnienie okna kroczącego

Okno kroczące o długości n sesji jest średnią z ostatnich n obserwacji. Jeżeli zależność zmienia się skokowo, to m sesji po zmianie okno zawiera m obserwacji z nowego reżimu i n − m ze starego, więc odczyt jest mieszaniną obu z wagą m/n na nowym. Do dziewięćdziesięciu procent nowej wartości odczyt dochodzi po 0,9 × n sesjach — i to przy założeniu, że zmiana była natychmiastowa i trwała, czyli w przypadku dla okna najkorzystniejszym.

Ile sesji potrzeba, żeby wykryć zadaną zmianę

Pytanie odwrotne jest praktyczniejsze: mam próg decyzyjny i chcę wiedzieć, jakie okno pozwala odróżnić przekroczenie tego progu od szumu. Warunek to 2 × SE_Δ ≤ Δ, gdzie Δ to różnica, którą chcesz wykryć, a SE_Δ = √2 × SE jest błędem standardowym różnicy dwóch odczytów z rozłącznych okien tej samej długości — bo porównujesz dwa oszacowania, a nie oszacowanie z liczbą pewną. Próg wynosi więc 2√2 × SE ≈ 2,83 × SE. Podstawiając SE = (1 − ρ²)/√(n − 1) dla ρ = 0,50, czyli 0,75/√(n − 1):

$$n \geq 1 + \left(\frac{2{,}121}{\Delta}\right)^2$$

Ostatni wiersz jest wart przeczytania dwa razy. Żeby wiarygodnie odróżnić korelację 0,60 od 0,70, potrzebujesz 451 obserwacji — a okno tej długości zarejestruje zmianę reżimu dopiero po ponad półtora roku. Nie da się mieć obu rzeczy naraz, a każda tabela, która podaje jedno „standardowe" okno bez tego zastrzeżenia, przemilcza połowę rachunku.

Procedura wyboru

Rozstrzygnięcie sprowadza się do czterech kroków, wykonywanych raz i zapisywanych razem z resztą parametrów.

1. Ustal, jaką różnicę musisz wykryć. Nie „chcę wiedzieć, ile wynosi korelacja", tylko „chcę wiedzieć, czy przekroczyła próg, przy którym odrzucam pozycję". Jeżeli próg wynosi 0,70, a typowe odczyty leżą w okolicach 0,50, to Δ = 0,20.
2. Odczytaj wymagane n z tabeli powyżej i sprawdź, czy opóźnienie takiego okna jest do przyjęcia przy twoim horyzoncie trzymania pozycji. Przy pozycjach trzymanych dni okno o 114 obserwacjach — ponad pięć miesięcy danych — opisuje zależność, która z twoją pozycją nie ma wiele wspólnego.
3. Jeżeli opóźnienie jest nie do przyjęcia, obniż ambicję progu, a nie długość okna. Próg 0,70 przy oknie 30-sesyjnym nie jest progiem, tylko losowaniem — przy Δ rozróżnialnym dopiero od 0,40 odczyt 0,60 i odczyt 0,85 są tą samą informacją.
4. Okno krótkie traktuj jako alarm, nie jako pomiar. Odczyt 30-sesyjny odbiegający od długiego jest powodem, żeby sprawdzić, co się zmieniło — nie jest podstawą do odrzucenia ani do otwarcia pozycji. Regułę odrzucającą stawiaj wyłącznie na oknie, które przechodzi test z kroku drugiego.

4. Macierz korelacji — co w niej stoi i czego w niej nie ma

Macierz korelacji to symetryczna tabela, w której każda komórka podaje współczynnik dla jednej pary szeregów. Przekątna to zawsze +1,00. Poniższa macierz obejmuje osiem par — siedem głównych i jedną krzyżową (EUR/GBP) — i jest liczona na logarytmicznych stopach zwrotu dziennych; wartości są ilustracyjne — pokazują typowe relacje strukturalne, nie odczyt z konkretnego okna.

Ostatni wiersz nie jest mierzony osobno, tylko wyprowadzony z pozostałych, i warto wiedzieć dlaczego. Przy zbliżonych zmiennościach obu nóg zachodzi w przybliżeniu EUR/GBP ≈ EUR/USD − GBP/USD, więc korelacja EUR/GBP z dowolnym trzecim szeregiem Z wynosi [ρ(EUR/USD, Z) − ρ(GBP/USD, Z)] / √(2 − 2ρ), gdzie ρ = 0,87 to korelacja obu nóg. Mianownik wynosi 0,5099 i stąd biorą się wszystkie liczby ostatniego wiersza: +0,25, −0,25, +0,14, +0,20, −0,25, −0,18 i −0,24. Kto wpisze tam wartości dobrane niezależnie od reszty macierzy, dostanie tabelę, która nie może pochodzić z żadnych danych — i będzie to ten sam błąd, który sekcja 12 opisuje na prostszym przypadku dolnej granicy korelacji.

Czytanie macierzy to dwie operacje, nie jedna. Najpierw szukasz wartości bezwzględnych powyżej 0,70 — to kandydaci na silną zależność. Potem przenosisz znak zgodnie z kierunkami pozycji i patrzysz na korelację wyników: jeżeli jest wysoka i dodatnia, pozycje tracą razem i traktujesz je jak jedną pozycję o powiększonym nominale; jeżeli wysoka i ujemna, nogi znoszą się w modelowej zmienności, ale każda zachowuje własny budżet wyjścia i własne koszty. Długa EUR/USD i długa GBP/USD przy +0,87 to jeden temat makro w dwóch obudowach. Długa EUR/USD i długa USD/CHF przy −0,91 to korelacja wyników −0,91 — częściowo zneutralizowana ekspozycja z dwoma budżetami wyjścia, nie dywersyfikacja (rachunek — portfel C w sekcji 11).

5. Ukryta ekspozycja walutowa — rozkład pozycji na waluty składowe

Macierz korelacji pokazuje współruch, ale nie pokazuje, gdzie siedzisz netto. Każda para to dwie waluty: jedną kupujesz, drugą sprzedajesz. Przy kilku pozycjach te waluty zaczynają się nakładać i wychodzi jedna skoncentrowana ekspozycja pod kilkoma nazwami. Rozkład na waluty składowe (po angielsku net currency exposure) to przeliczenie wszystkich otwartych pozycji na ekspozycję netto per waluta, w walucie rachunku.

Reguła znaku

Bez rozdzielenia znaków suma traktuje wszystkie pozycje jak długie i przy portfelu mieszanym myli się o wartość każdej nogi w przeciwnym kierunku. To najczęstszy ukryty błąd w tym rachunku.

Rachunek na trzech pozycjach

Założenia (wartości ilustracyjne). Kapitał bieżący 100 000 PLN, mierzony przed otwarciem pierwszej pozycji. Ryzyko na pozycję 1,00% kapitału bieżącego, czyli 1 000 PLN. Wartości nominalne przeliczone na walutę rachunku po kursie środkowym z dnia otwarcia; sposób przeliczania nominału na walutę rachunku — dział 2.

1. Długa EUR/USD, wartość nominalna 100 000 PLN
2. Długa GBP/USD, wartość nominalna 120 000 PLN
3. Krótka USD/CHF, wartość nominalna 90 000 PLN

Trzy pozycje o trzech nazwach, jedna ekspozycja: krótka na dolara o wartości 310 000 PLN, czyli 3,1-krotności kapitału. Umocnienie dolara o 1% kosztuje w przybliżeniu 3 100 PLN, niezależnie od tego, że w tabeli portfela stoją trzy różne symbole.

Loty bywają używane jako skrót zamiast wartości nominalnej w walucie rachunku. Skrót działa tylko wtedy, gdy wszystkie pozycje siedzą na instrumentach o zbliżonej zmienności i zbliżonej wartości pipsa — a jeden lot EUR/USD i jeden lot GBP/JPY tego warunku nie spełniają. Różnicę zmienności między instrumentami rachunek portfelowy i tak wchłania przez σ_i, więc prościej jest od razu liczyć w walucie rachunku.

6. Rozkład na czynniki walutowe wykonany do końca

Trzy pozycje z poprzedniej sekcji dały wynik oczywisty, bo wszystkie trzy miały dolara po tej samej stronie. Przy zestawie z parami krzyżowymi i pozycjami w obu kierunkach wynik przestaje być oczywisty — i wtedy okazuje się, że rachunek trzeba naprawdę wykonać, a nie oszacować wzrokiem.

Zestaw do rozłożenia

Założenia (wartości ilustracyjne). Kapitał bieżący 100 000 PLN, mierzony przed otwarciem pierwszej pozycji. Ryzyko na pozycję: 0,60% = 600 PLN, pięć pozycji, więc suma kwot ryzyka 3,00% = 3 000 PLN. Limit skupienia to ta sama reguła co w całym artykule — 3 × ryzyko pojedynczej pozycji; limit jest regułą, nie liczbą, więc przy ryzyku 0,60% na pozycję daje 1,80%, a przy 1,00% dawał 3,00%.

Krok 1 — rozbicie każdej pozycji na dwie waluty

Reguła znaku z poprzedniej sekcji, zastosowana mechanicznie: pozycja długa daje plus walucie bazowej i minus kwotowanej, krótka odwrotnie. Wartość nominalna wchodzi do obu wierszy w tej samej wysokości.

Krok 2 — zsumowanie per waluta

Kontrola rachunku: suma wszystkich pozycji netto musi wynosić zero, bo każda pozycja wnosi tę samą kwotę raz z plusem i raz z minusem. Tutaj: −90 000 + 70 000 + 70 000 − 70 000 + 30 000 − 10 000 = 0. Jeżeli nie wychodzi zero, gdzieś przestawiłeś znak albo pominąłeś nogę.

Wynik jest zaskakujący i to jest w nim najcenniejsze. Największą ekspozycję nominalną netto ma dolar kanadyjski — waluta występująca w jednej jedynej parze z pięciu. Dolar amerykański, obecny w trzech parach, wypada dopiero na drugim miejscu razem z dolarem australijskim i jenem, bo trzy pozycje dolarowe częściowo się znoszą: jedna krótka na dolarze (−80 000) wobec dwóch długich (+60 000 i +90 000) daje netto +70 000. Funt, obecny w dwóch parach, ma ekspozycję najmniejszą z całego zestawu — 60 000 krótkie i 50 000 długie znoszą się prawie w całości.

Krok 3 — ryzyko skupione, czyli druga tabela

Ekspozycja nominalna netto odpowiada na pytanie o koszt ruchu waluty. Na pytanie o stratę odpowiada inna wielkość: suma kwot ryzyka tych pozycji, które tracą, gdy dana waluta idzie w jedną stronę. Liczy się ją osobno dla każdego z dwóch kierunków, a za skupienie przyjmuje wartość większą.

Największe ryzyko skupione wynosi 1,20% na dolarze i mieści się w limicie 1,80%. Zwróć uwagę, że obie tabele wskazują inną walutę jako dominującą: nominalnie prowadzi dolar kanadyjski z −90%, w ryzyku — dolar amerykański z 1,20%. Nie ma tu sprzeczności, bo mierzą różne rzeczy. Ekspozycja nominalna sumuje kwoty algebraicznie, więc pozycje przeciwstawne się znoszą; ryzyko skupione liczy tylko te pozycje, które tracą razem, więc znoszenie się nie działa. Limit stawia się na drugiej tabeli.

Krok 4 — suma strat

Pięć pozycji po 600 PLN: 3 000 PLN = 3,00% kapitału. Z poślizgiem 10% kwoty ryzyka na każdej nodze: 5 × 660 = 3 300 PLN = 3,30% kapitału. Ta sama liczba co przy trzech pozycjach z poprzedniej sekcji — bo suma strat zależy od budżetu ryzyka, a nie od tego, na ile pozycji go rozłożyłeś.

7. Rachunek ekspozycji łącznej trzech pozycji

Ten sam portfel co w sekcji 5, policzony do końca. Rachunek prowadzi obie liczby równolegle, bo tylko zestawione obok siebie mówią coś użytecznego.

Dane wejściowe

Krok 1 — przeniesienie znaku

Korelacje szeregów cenowych z macierzy z sekcji 4: EUR/USD i GBP/USD +0,87; EUR/USD i USD/CHF −0,91; GBP/USD i USD/CHF −0,82. Pozycje 1 i 2 są długie, pozycja 3 krótka, więc:

Wszystkie trzy korelacje wyników są dodatnie i wysokie. Portfel, który na wykresie wygląda na mieszany — dwie pozycje długie i jedna krótka — jest w rzeczywistości jednorodny.

Krok 2 — modelowa zmienność łączna

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Podstawienie, w procentach kapitału:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,25 + 0,49 + 0,16 = 0,90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,87 × 0,50 × 0,70 = 0,3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0,91 × 0,50 × 0,40 = 0,1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,82 × 0,70 × 0,40 = 0,2296
2 × (0,3045 + 0,1820 + 0,2296) = 2 × 0,7161 = 1,4322

σ_p = √(0,90 + 1,4322) = √2,3322 = 1,53% kapitału na dzień = 1 527 PLN

Kontrola rzędu wielkości: wynik musi mieścić się między największym pojedynczym odchyleniem (0,70%) a sumą odchyleń (1,60%, granica przy ρ = +1). Mieści się. Dolna połowa tej kontroli obowiązuje wyłącznie przy nieujemnych korelacjach wyników — przy ujemnych przestaje wiązać, co pokazuje portfel C z sekcji 11, gdzie σ_p = 0,34% leży poniżej odchylenia pojedynczej pozycji. Przy niezależności wyszłoby √0,90 = 0,95% — zależność między pozycjami podnosi modelową zmienność o 61%.

Krok 3 — suma strat przy jednoczesnym zadziałaniu wyjść

Rachunek jest osobny i prowadzi się go dodawaniem, nie pierwiastkowaniem.

Założenie wykonania dokładnie po cenie zlecenia jest uproszczeniem podanym wprost w pierwszym wierszu; drugi wiersz je koryguje. Mnożnik poślizgu jest parametrem ilustracyjnym, nie pomiarem rynkowym — rzeczywisty poślizg zależy od instrumentu, rodzaju zlecenia, pory sesji i dostawcy cen, a w oknach z gwałtownym zanikiem płynności zdarzenia opisane w 9.10 przekraczały takie wartości wielokrotnie; rachunek luki nie ma w tym miejscu górnego ograniczenia. Doprecyzowanie statusu kosztów: kwota R jest liczona do planowanej ceny wyjścia i nie zawiera spreadu, prowizji ani punktów swapowych — te składniki obciążają wynik osobno (rachunek kosztów — 9.6), a mnożnik g obejmuje wyłącznie różnicę między poziomem zlecenia a ceną wykonania.

Krok 4 — zestawienie

Modelowa zmienność wyszła ponad dwukrotnie niższa od sumy strat przy zadziałaniu wyjść. Czytanie 1,53% jako „mojego ryzyka" oznaczałoby zaplanowanie kapitału na mniej niż połowę kwoty, która realnie może zejść z rachunku w jednej sesji.

Dwie pozycje przy różnych korelacjach

Wiersz ρ = 0,00 jest wart osobnej uwagi, bo w tabelach tego typu zwykle stoi z etykietą „prawdziwa dywersyfikacja". Na rynku walutowym korelacja bliska zeru między parami zawierającymi tego samego dolara jest wyjątkiem, a nie stanem osiągalnym przez dobór instrumentów — i zanika wtedy, gdy jest najbardziej potrzebna. Bez tego zastrzeżenia wiersz sugeruje korzyść, której nie da się zamówić.

Uproszczony wzór dla N pozycji

Dla N = 5, σ = 1,00% i ρ = 0,85: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0,85) = 1% × √22 = 4,69% kapitału dziennie. Przy ρ = 0 byłoby to 1% × √5 = 2,24%, przy ρ = +1 — 5,00%.

Suma strat przy zadziałaniu pięciu wyjść po 1% ryzyka wynosi 5,00% niezależnie od korelacji, a po doliczeniu 10% poślizgu na każdej nodze — 5,50%. Liczba 4,69% nie oznacza więc „mam jeszcze margines do 5%": opisuje zupełnie inną wielkość i nie ogranicza straty w żadnym kierunku.

Silnie ujemnych korelacji przy pięciu pozycjach dobrać się przy tym nie da, i nie stoi za tym żadne ustalenie autora. Macierz korelacji musi być dodatnio półokreślona, więc przy jednolitej korelacji parami wyrażenie N + N(N−1)ρ nie może zejść poniżej zera; dla N = 5 daje to granicę ρ ≥ −0,25. Ujemne zależności przy większej liczbie instrumentów wzajemnie się ograniczają — to własność algebraiczna macierzy, nie konwencja redakcyjna.

8. Mechanizm skorelowanego zadziałania wyjść

Zdanie „wszystkie wyjścia zadziałały w tej samej minucie" pada w opisach portfeli skorelowanych regularnie i zwykle zostaje bez rachunku. A da się je policzyć — i dopiero policzone pokazuje, dlaczego suma strat przy jednoczesnym zadziałaniu wyjść nie jest scenariuszem egzotycznym, tylko wielkością, którą trzeba zaplanować.

Składają się na to trzy rzeczy: wspólny czynnik, odległość wyjścia wyrażona w jednostkach zmienności i skupienie ruchu w oknie czasowym. Pierwsze dwie da się policzyć wprost na portfelu z sekcji 7.

Krok 1 — jeden czynnik odtwarza całą macierz

Korelacje wyników wyszły tam +0,87 (pozycje 1 i 2), +0,91 (1 i 3) oraz +0,82 (2 i 3). Sprawdźmy, czy da się je wyjaśnić jednym wspólnym czynnikiem — siłą dolara — z ładunkami a, b, c, takimi że korelacja dwóch pozycji jest iloczynem ich ładunków. Układ trzech równań ma rozwiązanie jawne:

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0,87 × 0,91) / 0,82) = √(0,7917 / 0,82) = √0,96549 = 0,983
b = 0,87 / 0,98259 = 0,885
c = 0,91 / 0,98259 = 0,926

Kontrola: iloczyn b × c = 0,88541 × 0,92613 = 0,8200, a zakładaliśmy 0,82. Zgadza się do czwartego miejsca. Trzy pozycje o trzech nazwach są w rachunku jedną ekspozycją na jeden czynnik, z ładunkami 0,98, 0,89 i 0,93 — i to nie jest metafora, tylko wynik rozwiązania układu równań na tych konkretnych trzech liczbach.

Krok 2 — odległość wyjścia w jednostkach zmienności

Kwota ryzyka i odchylenie standardowe pozycji dają razem trzecią wielkość: o ile odchyleń standardowych dziennych oddalone jest wyjście obronne. Oznaczmy ją k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

Ta sama kwota ryzyka daje trzy różne odległości w jednostkach zmienności, bo instrumenty mają różną zmienność. To jest przydatna informacja sama w sobie: pozycja druga wypadnie z portfela statystycznie najczęściej, mimo że ryzykuje dokładnie tyle samo złotych co pozostałe.

Krok 3 — próg dla wspólnego czynnika

Ruch wspólnego czynnika o wielkości z (w jednostkach jego własnego odchylenia standardowego) przesuwa wynik pozycji i o około a_i × z jej odchyleń standardowych. Wyjście obronne pozycji i zadziała, gdy a_i × z ≥ k_i, czyli gdy:

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Ruch czynnika o 1,61 odchylenia wybija pozycję drugą. O 2,04 — drugą i pierwszą. O 2,70 — wszystkie trzy naraz. Sam czynnik przesuwa się o 2,70 odchylenia albo więcej w 0,35% sesji, ale to dopiero część odpowiedzi: do ruchu wspólnego dokładają się składniki swoiste poszczególnych pozycji, więc komplet wyjść potrafi zadziałać także przy ruchu czynnika słabszym niż 2,70. Pełny rachunek daje 0,522% sesji.

Krok 4 — to samo w skali roku, i porównanie z niezależnością

W 250 sesjach prawdopodobieństwo, że taka sesja wystąpi przynajmniej raz, wynosi 1 − (1 − 0,00522)²⁵⁰ = 1 − 0,271 = 72,95%.

Teraz to samo przy założeniu, że trzy pozycje są niezależne. Każda ma wtedy własne prawdopodobieństwo dojścia do wyjścia: 1 − Φ(2,00) = 2,275%, 1 − Φ(1,43) = 7,656% i 1 − Φ(2,50) = 0,621%. Wszystkie trzy w tej samej sesji: iloczyn tych trzech liczb, czyli 0,00108%. W 250 sesjach — 0,27%.

Iloraz rzędu 482 jest liczbową odpowiedzią na pytanie, dlaczego suma strat przy jednoczesnym zadziałaniu wszystkich wyjść musi być planowana, a nie odkładana jako przypadek graniczny. Przy portfelu niezależnym byłoby to zdarzenie rzadsze niż raz na kilkaset lat; przy tym portfelu — w modelu z tej sekcji — zdarzenie o rocznym prawdopodobieństwie około 73%.

Krok 5 — co się dzieje, gdy odległości wyjść są jednakowe w jednostkach zmienności

Wielu czytelników ustawia wyjścia obronne jako stałą wielokrotność zmienności instrumentu — na przykład wszystkie na 2,00 dziennego odchylenia. Przy takim ustawieniu progi dla wspólnego czynnika przestają się rozjeżdżać:

z₁ = 2,00 / 0,983 = 2,04 · z₂ = 2,00 / 0,885 = 2,26 · z₃ = 2,00 / 0,926 = 2,16

Sam ruch czynnika o 2,26 odchylenia zdarza się w 1,19% sesji, ale przy progach tak zbliżonych to przybliżenie zawyża. Pełny rachunek daje 0,860% w sesji, a w 250 sesjach: 1 − (1 − 0,00860)²⁵⁰ = 1 − 0,115 = 88,46%.

Ujednolicenie odległości wyjść w jednostkach zmienności — zabieg, który wygląda na porządkowanie ryzyka — podniosło roczne prawdopodobieństwo jednoczesnego zadziałania wszystkich trzech wyjść z 72,95% do 88,46%. Powód jest prosty: rozrzut progów był jedyną rzeczą, która trzymała wyjścia z dala od siebie w czasie. Nie znaczy to, że należy odległości różnicować celowo — znaczy, że ujednolicenie ich nie jest operacją neutralną dla ryzyka portfela i trzeba je policzyć razem z resztą.

9. Korelacja w stresie — czego ten rachunek nie obejmuje

Korelacja nie ma obowiązku zostać tam, gdzie była w twoim teście historycznym. Jeżeli budujesz ryzyko portfela na korelacji historycznej, budujesz na założeniu ciągłości — a rynek ciągłości nie gwarantuje.

Zmiana bywa gwałtowna i przebiega w obie strony. Część zależności zacieśnia się w kierunku wartości skrajnych, bo uczestnicy zamykają pozycje w tym samym kierunku i w tym samym czasie; część rozpada się albo zmienia znak, gdy zdarzenie dotyczy jednej waluty. Obie możliwości psują rachunek zbudowany na odczycie sprzed zdarzenia, tyle że pierwsza psuje go w stronę niedoszacowania.

Jest jeszcze mechanizm, który nie jest statystyczny. W wymuszonej redukcji ekspozycji korelacja przestaje być opisem współruchu i staje się skutkiem przepływu: jeden uczestnik zamyka pozycję, kurs się przesuwa, kolejni dostają wezwanie do uzupełnienia depozytu i zamykają to samo. W takim przebiegu współczynnik nie „rośnie" — jest wymuszany⁵.

Oba zdarzenia z tabeli mają w tym dziale jednego właściciela i tam stoją ich poziomy cen, godziny i źródła. Tutaj liczy się z nich wyłącznie jedno: w każdym z nich odczyt korelacji sprzed zdarzenia był nieprzydatny do rachunku ryzyka w trakcie zdarzenia. To samo pokazało zniesienie minimalnego kursu EUR/CHF przez Szwajcarski Bank Narodowy 15 stycznia 2015⁸ — pełny opis tego zdarzenia, z poziomami cen i godziną, należy do 9.10. Przy gwałtownym umocnieniu jena 3 stycznia 2019 zależności między krzyżami jenowymi zacieśniły się w drugą stronę, a spready znacząco się rozszerzyły⁷. Przy gwałtownym spadku funta 7 października 2016 do ruchu dołożyło się uruchomienie zleceń obronnych, które go wzmocniło⁶ — a rozbieżność cen wykonania między platformami była cechą zdarzenia, nie awarią.

Skorelowane pozycje mają jeszcze jedną wspólną cechę, która nie wynika ze współczynnika: poziomy wyjść obronnych wielu uczestników układają się w podobnych miejscach, więc przebicie takiego poziomu na jednej parze potrafi przenieść ruch na parę skorelowaną i uruchomić kolejne wyjścia — mechanizm skupisk zleceń i struktury cenowej opisuje dział 5. Dla rachunku liczy się skutek: na skorelowanych parach wyjścia mogą realizować się blisko siebie w czasie i po gorszych cenach niż na pojedynczej pozycji, czyli poślizg z wiersza drugiego tabeli w kroku 3 jest tam założeniem optymistycznym.

10. Ile z tego rachunku zostaje w stresie — przeliczenie

Poprzednia sekcja opisała zjawisko. Teraz je policzmy, bo dopiero rachunek pokazuje, która część potocznej tezy o zachowaniu korelacji w kryzysie jest prawdziwa, a która przenosi uwagę na niewłaściwą wielkość.

W oknie stresu zmieniają się dwie rzeczy naraz: korelacje się zacieśniają i odchylenia standardowe rosną. W dyskusjach o dywersyfikacji mówi się prawie wyłącznie o pierwszej. Rozdzielmy je i policzmy każdą osobno — najpierw na portfelu z sekcji 7, potem na rozproszonym portfelu B z sekcji 11.

Portfel skoncentrowany

Trzy pozycje z sekcji 7: σ = 0,50% / 0,70% / 0,40%, korelacje wyników +0,87 / +0,91 / +0,82, kwota ryzyka 1,00% na pozycję, kapitał 100 000 PLN. Wariant stresowy — wartości ilustracyjne — zakłada zacieśnienie wszystkich trzech korelacji do 0,97 oraz podwojenie wszystkich odchyleń standardowych.

Wariant tylko z zacieśnieniem korelacji. Suma kwadratów bez zmian: 0,90. Człon mieszany: 2 × 0,97 × (0,35 + 0,20 + 0,28) = 2 × 0,97 × 0,83 = 1,6102. σ_p = √(0,90 + 1,6102) = √2,5102 = 1,58%.

Wariant tylko z podwojeniem zmienności. Wzór jest jednorodny stopnia pierwszego względem σ, więc podwojenie wszystkich odchyleń podwaja wynik dokładnie: σ_p = 2 × 1,53% = 3,05%.

Wariant z obiema zmianami. σ = 1,00 / 1,40 / 0,80. Suma kwadratów: 1,00 + 1,96 + 0,64 = 3,60. Człon mieszany: 2 × 0,97 × (1,40 + 0,80 + 1,12) = 2 × 0,97 × 3,32 = 6,4408. σ_p = √(3,60 + 6,4408) = √10,0408 = 3,17%.

Portfel rozproszony

Portfel B z sekcji 11: trzy pozycje o σ = 0,80% każda, korelacje wyników +0,35 / +0,20 / +0,10, więc ich suma wynosi 0,65. Wartość wyjściowa: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 1,66%.

Przy zacieśnieniu wszystkich trzech korelacji do 0,97 suma wynosi 2,91, więc σ_p = 0,80% × √(3 + 2 × 2,91) = 0,80% × √8,82 = 0,80% × 2,9698 = 2,38%. Przy podwojeniu zmienności bez zmiany korelacji: 2 × 1,66% = 3,32%. Przy obu zmianach: 1,60% × 2,9698 = 4,75%.

Zestawienie

Z tego zestawienia wynikają trzy rzeczy, z których żadna nie jest oczywista przed policzeniem.

Po pierwsze: dla portfela już skoncentrowanego zacieśnienie korelacji jest efektem drugorzędnym. Podnosi modelową zmienność o 3,7%, podczas gdy wzrost samej zmienności podnosi ją o 100%. Portfel, który siedzi na korelacjach rzędu 0,9, nie ma już czego stracić na tym, że pójdą do 0,97 — stracił to wcześniej, w momencie budowy.

Po drugie: dla portfela rozproszonego zacieśnienie kosztuje 43,2%, czyli ponad jedenaście razy więcej niż dla skoncentrowanego. W stresie znika około 97% korzyści, którą rozproszenie dawało w modelowej zmienności: przewaga nad sumą odchyleń (2,40%) topnieje z 0,74 punktu procentowego w warunkach wyjściowych do 0,02 punktu przy korelacjach 0,97.

Po trzecie: ostatnia kolumna nie drgnęła. Suma strat przy jednoczesnym zadziałaniu wszystkich wyjść wynosi 3,30% w każdym wariancie obu portfeli, bo nie zależy ani od ρ, ani od σ. Wszystko, co dzieje się z korelacją w stresie, dotyczy liczby, która nie planuje kapitału — a liczba, która go planuje, jest w tym zestawieniu stała. Zmieni ją dopiero pogorszenie ceny wykonania, i to jest jedyny kanał, przez który stres podnosi kwotę schodzącą z rachunku.

Skąd wziąć korelację stresową

Są dwie uczciwe drogi i obie mają wadę, którą trzeba nazwać.

Droga pierwsza: pomiar warunkowy. Policz korelację wyłącznie na podpróbie sesji o największej zmienności — na przykład na najgorszym decylu dni. Wada jest znana i zmierzona: współczynnik liczony na podpróbie wybranej według zmienności jest obciążony w górę czysto mechanicznie, bo sam wzrost wariancji podnosi korelację nawet przy niezmienionej zależności². Część obserwowanego zacieśnienia jest więc artefaktem doboru próby, nie zjawiskiem.

Droga druga: podstawienie ρ = +1 jako granicy rachunkowej. Zaleta: nie wymaga żadnego oszacowania i daje najwyższą wartość, jaką wzór potrafi wygenerować, czyli sumę odchyleń — dla portfela skoncentrowanego 0,50% + 0,70% + 0,40% = 1,60% w warunkach wyjściowych i 3,20% przy podwojonej zmienności. Wada: to nie jest opis rynku, tylko górna granica modelu. Część zależności w stresie się rozpada, a część zmienia znak, więc ρ = +1 nie jest prognozą. Jest liczbą, powyżej której ten wzór nie sięga — i o niczym, co dzieje się poza nim, nie mówi.

Praktyczny wniosek: żadna z tych dróg nie da liczby, na której da się oprzeć limit — a suma strat przy zadziałaniu wyjść jest odporna na to, czego o korelacji w stresie nie wiemy.

11. Trzy portfele policzone tą samą metodą

Trzy składy, ten sam kapitał bieżący 100 000 PLN i to samo ryzyko 1,00% (1 000 PLN) na pozycję. Żeby składy dało się porównać między sobą, wszystkie pozycje mają tu jednakowe odchylenie standardowe σ = 0,80% kapitału dziennie — to uproszczenie przyjęte na potrzeby porównania, konieczne, żeby zadziałał wzór z jednolitą korelacją parami. W sekcji 7 te same instrumenty miały σ różne (0,50%, 0,70% i 0,40%), bo różniły się i wartością nominalną, i dzienną zmiennością samego instrumentu; przy własnym rachunku σ mierzy się osobno dla każdej pozycji. Wszystkie wartości ilustracyjne. Każdy portfel dostaje obie liczby.

Portfel A — pięć pozycji, jedna ekspozycja

Średnia korelacja wyników parami, policzona z macierzy w sekcji 4 po przeniesieniu znaków dla wszystkich dziesięciu par — (0,87 + 0,72 + 0,91 + 0,38 + 0,65 + 0,82 + 0,25 + 0,62 + 0,45 + 0,35) / 10 = 6,02 / 10 — wynosi +0,6020. Modelowa zmienność: 0,80% × √(5 + 20 × 0,6020) = 0,80% × √17,04 = 3,30% kapitału dziennie. Suma strat przy zadziałaniu pięciu wyjść: 5 × 1 000 = 5 000 PLN = 5,00%, z poślizgiem 10% na nogę — 5,50% = 5 500 PLN. Ryzyko skupione na dolarze: 5,00%, czyli 5 × ryzyko pojedynczej pozycji, przy przyjętym limicie 3 ×. Portfel łamie limit o dwie pozycje, mimo że każda z nich osobno mieści się w regule „1% na transakcję".

Portfel B — trzy czynniki

Suma korelacji parami wynosi 0,65, więc modelowa zmienność: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 0,80% × 2,0736 = 1,66% kapitału dziennie. Suma strat przy zadziałaniu trzech wyjść: 3,00%, z poślizgiem 3,30% = 3 300 PLN.

Rozkład na waluty: euro występuje po obu stronach (długa EUR/USD i krótka EUR/GBP), więc ekspozycja nominalna netto na euro jest bliska zeru, a ryzyko skupione na dowolnej pojedynczej walucie nie przekracza 1,00%, czyli jednej kwoty ryzyka. Portfel mieści się w limicie z dużym zapasem. Warto przy tym zobaczyć, skąd wzięła się różnica: suma strat spadła z 5,50% do 3,30% wyłącznie dlatego, że pozycji jest trzy zamiast pięciu — niska korelacja obniżyła modelową zmienność, nie sumę strat.

Portfel C — dwie pozycje o przeciwnych ekspozycjach

Długa EUR/USD i długa USD/CHF, po 1,00% ryzyka. Korelacja cenowa −0,91, obie pozycje długie, więc korelacja wyników to również −0,91.

Modelowa zmienność: 0,80% × √(2 + 2 × (−0,91)) = 0,80% × √0,18 = 0,34% kapitału dziennie. Suma strat przy zadziałaniu obu wyjść: 2,00%, z poślizgiem 2,20% = 2 200 PLN.

Rozkład na waluty jest tu najbardziej wymowny: długa EUR/USD to +EUR i −USD, długa USD/CHF to +USD i −CHF. Ekspozycja na dolara znosi się do zera, zostaje długa pozycja na euro i krótka na franku — czyli syntetyczna długa EUR/CHF, złożona z dwóch pozycji zamiast jednej. Koszt jest podwójny: dwa spready, dwie prowizje i dwa naliczenia punktów swapowych zamiast jednego kompletu.

Kolumna z modelową zmiennością i kolumna z sumą strat układają się w tej samej kolejności, ale w zupełnie innej skali. Portfel C ma blisko dziesięciokrotnie niższą modelową zmienność od portfela A (0,34% wobec 3,30%) i tylko dwuipółkrotnie niższą sumę strat (2,20% wobec 5,50%).

12. Liczba pozycji a granica dywersyfikacji

Pytanie „ile pozycji mogę mieć naraz" wraca w każdej rozmowie o portfelu i prawie zawsze dostaje odpowiedź w postaci liczby bez rachunku. Rachunek istnieje i daje odpowiedź w dwóch częściach, bo pytanie kryje w sobie dwie różne sytuacje.

Dwa sposoby dokładania pozycji

Wariant pierwszy: dokładasz ryzyko. Każda nowa pozycja ma własną kwotę ryzyka i własne σ, a budżet rośnie razem z nią. Wtedy zarówno modelowa zmienność, jak i suma strat rosną z każdą pozycją, i nie ma tu żadnej korzyści z dywersyfikacji do policzenia — jest tylko większy zakład.

Wariant drugi: dzielisz ten sam budżet. Masz ustaloną sumę odchyleń, którą chcesz rozłożyć na N pozycji, więc każda dostaje σ = σ_B/N. Podział sumy odchyleń nie przesądza przy tym o kwotach ryzyka: ΣR to osobny budżet i osobna decyzja, więc ta sekcja przyjmuje jawnie oba podziały naraz — σ_i = σ_B/N oraz R_i = R_B/N — bo dopiero wtedy porównanie różnych N dotyczy tego samego zakładu. To jest właściwe pytanie o dywersyfikację i tylko ono ma sensowną odpowiedź. Przy jednolitym σ na pozycję i jednolitej korelacji parami ρ:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

Ostatnie wyrażenie jest kluczem do całej sekcji, bo przy N dążącym do nieskończoności zbiega do σ_B × √ρ. Przy dodatniej korelacji istnieje więc podłoga, poniżej której modelowa zmienność portfela nie zejdzie, choćby pozycji było dowolnie wiele — i jest on tym wyżej, im wyższa korelacja.

Tabela: co daje kolejna pozycja

Wiersz ρ = 0,75 czyta się tak: przejście z dwóch pozycji na dwadzieścia obniża modelową zmienność z 1,871% do 1,746%, czyli o 0,124 punktu procentowego. Osiemnaście dodatkowych pozycji, każda z własnym spreadem, własną prowizją i własnym ryzykiem wykonania, kupuje jedną ósmą punktu procentowego. Granicą, do której to zmierza, jest 1,732% — czyli 93% wartości, jaką portfel ma już przy dwóch pozycjach. Cała możliwa korzyść z rozproszenia na dowolnie wiele instrumentów, licząc od dwóch pozycji, wynosi przy tej korelacji 0,139 punktu procentowego.

Gdzie przyrost korzyści przestaje mieć znaczenie

Policzmy, jaka część całej możliwej korzyści z dywersyfikacji jest już osiągnięta przy danym N. Korzyść całkowita to różnica między jedną pozycją (2,00%) a granicą; korzyść osiągnięta to różnica między jedną pozycją a wartością przy N.

Wynik jest zaskakująco stabilny wobec korelacji: przy pięciu pozycjach masz już około trzech czwartych wszystkiego, co dywersyfikacja może dać, a przy dziesięciu — około dziewięciu dziesiątych. Reszta dzieli się między pozycje od jedenastej w górę, z których każda kosztuje pełny komplet spreadu i prowizji oraz dokłada jedną nogę do ryzyka wykonania. To nie jest zalecenie „miej pięć pozycji" — to wskazanie, gdzie przestaje działać argument o dywersyfikacji, a zaczyna działać wyłącznie argument o kosztach.

Dolna granica korelacji przy N pozycjach

Granica −0,25 dla pięciu pozycji, podana bez wyprowadzenia w sekcji 7, jest szczególnym przypadkiem warunku ogólnego. Przy jednolitej korelacji parami wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być ujemne, co daje:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

Naruszenie tego warunku nie oznacza portfela o ujemnym ryzyku — oznacza, że podana macierz korelacji nie może pochodzić z żadnych rzeczywistych danych. Jeżeli twój arkusz zwraca dla pięciu instrumentów jednolitą korelację poniżej −0,25, to nie odkryłeś zabezpieczenia idealnego, tylko masz błąd w danych albo liczyłeś korelacje na różnych okresach. Praktyczny wniosek: im więcej pozycji, tym bliżej zera musi leżeć średnia korelacja — możliwość znoszenia się ekspozycji kurczy się z każdą dołożoną nogą.

Ogon, który z N nie maleje

Suma strat przy zadziałaniu wszystkich wyjść nie pojawia się w powyższych tabelach ani razu i to nie jest przeoczenie: przy drugim z przyjętych założeń — stałej sumie kwot ryzyka ΣR = R_B, dzielonej po równo — wynosi ona tyle samo dla dwóch i dla dwudziestu pozycji. Z samego podziału σ_B to nie wynika; to osobne założenie, przyjęte wyżej jawnie. Poślizg liczony jako stały ułamek kwoty ryzyka sumuje się wtedy do g × R_B i też się nie zmienia.

Zmienia się co innego — liczba nóg narażonych na nietypowe wykonanie w jednym zdarzeniu. Przyjmijmy, że w sesji ze zdarzeniem prawdopodobieństwo nietypowego wykonania na pojedynczej nodze wynosi 5% (wartość ilustracyjna).

Przy wspólnym czynniku prawdopodobieństwo, że nietypowe wykonanie dotknie wszystkich nóg naraz, nie maleje z N w ogóle — zostaje na poziomie prawdopodobieństwa samego zdarzenia, bo zdarzenie dotyczy czynnika, nie pojedynczego instrumentu. Dla pięciu pozycji różnica wobec założenia niezależności wynosi około 160 000 razy. Przy stałej sumie ΣR część poślizgu proporcjonalna do kwoty ryzyka jest stała; z N rośnie natomiast to, czego proporcjonalny mnożnik nie opisuje — liczba zleceń narażonych na koszty stałe i na wykonanie nieproporcjonalne do wielkości: minimalną prowizję, minimalny krok wolumenu, lukę liczoną od poziomu każdego zlecenia z osobna.

Zestawiając to z poprzednią tabelą: przy ρ = 0,75 przejście z pięciu pozycji na dziesięć obniża modelową zmienność z 1,789% do 1,761%, czyli o 0,028 punktu procentowego — i jednocześnie podwaja liczbę zleceń, które w jednym zdarzeniu mogą dostać pogorszoną cenę wykonania. Decyzja o kolejnej pozycji zależy więc równocześnie od marginalnej redukcji σ_p i od kosztu wykonania, a nie od jednej liczby do zapamiętania.

13. Granice dywersyfikacji na rynku walutowym

Na rynku akcji dywersyfikacja opiera się na liczbie instrumentów, których jest kilka tysięcy. Na rynku walutowym osiem walut głównych daje 28 par, ale wszystkie są kombinacjami tych samych ośmiu składników — a większość obrotu przechodzi przez dolara¹². Wspólny czynnik jest więc wbudowany w konstrukcję rynku, nie w dobór instrumentów.

Stąd bierze się różnica między dwiema operacjami, które wyglądają tak samo. Dobranie pary o niskiej korelacji z już otwartymi obniża modelową zmienność portfela. Sumy strat przy zadziałaniu wyjść nie obniża — każda dokładana pozycja tę sumę podnosi, niezależnie od tego, jak dobrana¹⁰.

Kolumnę z ryzykiem skupionym czyta się mechanicznie: liczy się to, ile pozycji traci przy ruchu tej samej waluty w tę samą stronę, a nie ile pozycji jest w portfelu. W pierwszym składzie cztery pozycje mają dolara po tej samej stronie, więc skupienie wynosi 4 × ryzyko pozycji. W drugim euro występuje w dwóch parach po tej samej stronie — stąd 2 ×, mimo że pozycje są trzy i noszą trzy różne nazwy. W trzecim żadna waluta nie powtarza się ani razu: trzy pary rozkładają się na sześć różnych walut, więc skupienie schodzi do 1 × ryzyko pozycji, czyli do minimum osiągalnego przy jakiejkolwiek liczbie pozycji. Ta kolumna nie nagradza więc rozproszenia nazw, tylko brak powtórzeń walut.

Trzeci skład wymaga sprostowania, które w materiałach o dywersyfikacji zwykle wypada. Nie usuwa on dolara jako wspólnego mianownika, bo USD/CAD ma dolara po stronie bazowej — jedna z trzech pozycji nadal reaguje wprost na kurs samego dolara. Usunięcie czynnika dolarowego wymagałoby zestawu bez ani jednej pary z dolarem, na przykład EUR/GBP, AUD/NZD i CAD/CHF. Nawet wtedy pary krzyżowe dzielą inny wspólny czynnik: w oknach gwałtownego odwrotu od ryzyka oba ramiona pary surowcowej tracą jednocześnie wobec walut uznawanych za bezpieczne. Mechanizm tego przepływu należy do działu 7; tutaj liczy się jego skutek dla rachunku — korelacja policzona w spokojnym oknie zaniża zależność w oknie stresu.

Sensowny wniosek operacyjny z tej sekcji jest krótszy, niż zwykle się go zapisuje. Dobierając pary z różnych czynników, obniżasz rozrzut dziennego wyniku i zmniejszasz szansę, że jedno zdarzenie makro uderzy we wszystkie nogi naraz. Nie kupujesz sobie tym prawa do większej liczby pozycji — limit nadal stoi na sumie strat.

14. Portfel reguł — kilka zestawów reguł prowadzonych naraz

Wszystko powyżej dotyczyło portfela par. Ta sama ukryta ekspozycja pojawia się o poziom wyżej, gdy prowadzisz kilka reguł wejścia jednocześnie. Każda z nich ma własne parametry i własną historię, ale rachunku ryzyka nie da się prowadzić osobno dla każdej: pozycje trafiają na jeden rachunek, blokują jeden depozyt i podlegają jednemu przymusowemu zamknięciu.

Rozstrzygnięcia są trzy i wszystkie zapisuje się z góry.

Wspólny limit

Budżet ryzyka jest jeden i dotyczy rachunku, nie reguły. Definiuje się go jako sumę kwot ryzyka wszystkich pozycji otwartych jednocześnie, niezależnie od tego, która reguła je otworzyła — czyli tę samą wielkość, którą liczy krok 3 z sekcji 7. Reguła, która „ma własne 3%", w praktyce podnosi budżet rachunku o swoje 3%, a nie dzieli się nim.

Podział budżetu między reguły

Założenia (wartości ilustracyjne). Kapitał bieżący 100 000 PLN. Budżet ryzyka portfela: 4,00% = 4 000 PLN. Podział między dwie reguły po połowie: R1 — 2,00% = 2 000 PLN, R2 — 2,00% = 2 000 PLN. Ryzyko na pojedynczą pozycję w obu regułach: 1,00% = 1 000 PLN, więc każda reguła może mieć najwyżej dwie pozycje naraz. Limit ryzyka skupionego na jednej walucie: 3 × ryzyko pozycji = 3,00% = 3 000 PLN.

Krok czwarty pokazuje, po co ten limit istnieje. Sygnał zostaje odrzucony, mimo że budżet reguły R2 na niego pozwala i budżet całego portfela też — wiąże limit skupienia na walucie, bo wszystkie cztery pozycje tracą przy umocnieniu dolara. Bez tego limitu R1 i R2 zbudowałyby razem jeden zakład na dolara o wartości 4,00%, każda w pełnej zgodzie z własnymi regułami.

Stan końcowy to trzy pozycje po 1,00%, czyli dokładnie portfel policzony w sekcji 7: modelowa zmienność 1,53% kapitału dziennie, suma strat przy zadziałaniu wszystkich wyjść 3,00%, a po doliczeniu poślizgu i bez luki — 3,30% = 3 300 PLN. Wolne 1,00% budżetu R2 pozostaje wolne do czasu, aż zamknie się któraś z pozycji dolarowych albo pojawi się sygnał na innym czynniku.

Dwa sygnały naraz na powiązanych instrumentach

Trudniejszy przypadek: obie reguły dają sygnał w tej samej chwili, na instrumentach, które po rozłożeniu na waluty składowe wskazują w tę samą stronę. Przykład: R1 sygnalizuje długą GBP/USD, R2 sygnalizuje krótką EUR/GBP. Nazwy są różne, ale krótka EUR/GBP to długa pozycja na funcie — oba sygnały zwiększają to samo.

Przyjmijmy, że skupienie na funcie wynosi już 2,00% (dwie wcześniejsze pozycje po 1,00% z funtem po tej samej stronie), a limit to 3,00%. Wolne miejsce: 1,00%. Dwa sygnały po 1,00% dają razem 2,00% i limit przekraczają.

Pierwsze dwa warianty dają identyczną sumę strat i różnią się wyłącznie rozproszeniem: dwie pozycje po połowie mają modelową zmienność nie wyższą niż jedna pełna — niższą o tyle, o ile korelacja ich wyników jest mniejsza od +1 — ale dwa komplety kosztów zamiast jednego. Wariant trzeci — czyli brak rozstrzygnięcia — podnosi sumę strat o jedną trzecią i robi to bez żadnej decyzji, samym zbiegiem okoliczności w czasie.

15. Tabela decyzyjna odrzucenia pozycji

Poprzednia sekcja pokazała jeden przypadek odrzucenia sygnału — czwarty krok, w którym limit skupienia zadziałał przed budżetem. Uogólnijmy go w zestaw testów z warunkami liczbowymi, tak żeby decyzja nie wymagała oceny sytuacji.

Testy wykonuje się w kolejności, przed otwarciem pozycji, na wielkościach policzonych po jej hipotetycznym dodaniu. Każdy test ma nie tylko odpowiedź „tak/nie", ale i wolne miejsce — kwotę ryzyka, która jeszcze się mieści. Wolne miejsce jest ważniejsze od samej odpowiedzi, bo z niego wynika, czy pozycję da się wpuścić w obciętej wielkości.

Który test wiąże — przeliczenie

Stan wyjściowy. Kapitał bieżący 100 000 PLN. Otwarte trzy pozycje z sekcji 7 po 1,00% ryzyka, wszystkie krótkie na dolarze, więc ΣR = 3,00% = 3 000 PLN, a ryzyko skupione na dolarze S_USD = 3,00%. Budżet portfela B = 4,00%. Dopuszczalne obsunięcie dnia DD = 3,50% — wartość ilustracyjna; skąd bierze się limit dzienny i jaka jest jego baza, rozstrzyga 9.3, a pomiar samego obsunięcia dwiema definicjami i warunek zatrzymania — 9.8. Poślizg g = 10%. Limit skupienia: 3 × R = 3 × 1,00% = 3,00%.

Kandydat. Długa AUD/USD, ryzyko R_n = 1,00% = 1 000 PLN. Korelacja wyników z pozycją pierwszą wynosi +0,72 — obie pozycje są długie, więc znak z macierzy w sekcji 4 zostaje bez zmian. Kandydat jest też krótki na dolarze, jak wszystkie trzy pozycje otwarte. Jedno zastrzeżenie trzeba postawić przed przeliczeniem: odczyt +0,72 pochodzi z okna 90-sesyjnego, czyli z 89 obserwacji zwrotów, a więc nie spełnia warunku okna postawionego w T3. Odczytu z tak długiego okna ten artykuł nie ma, a dopisanie go byłoby wymyśleniem danej, więc T3 pracuje niżej jako ilustracja procedury, a nie jako test zaliczony — w kategoriach sekcji 3 jest to alarm, nie pomiar rozstrzygający. Na wynik przeliczenia nie ma to wpływu: kandydata odrzuca T2 z wolnym miejscem równym zeru, niezależnie od tego, ile wynosi jakakolwiek korelacja.

Wiążą dwa testy niezależnie od siebie, a wiąże pierwszy z nich — skupienie na walucie, z wolnym miejscem równym zeru. Nawet gdyby limit skupienia był luźniejszy, test obsunięcia wpuściłby wyłącznie pozycję o ryzyku około 0,182% kapitału, czyli 182 PLN. Przy typowym kroku wolumenu taka pozycja albo nie jest wykonalna, albo jest tak mała, że jej wpływ na wynik nie równoważy kosztu otwarcia. Uczciwym wnioskiem jest rezygnacja, nie podniesienie limitu.

Osobno warto się zatrzymać przy T1: budżet portfela przeszedł. Gdyby był jedynym testem, czwarta pozycja weszłaby bez przeszkód i portfel miałby 4,00% ryzyka skupionego na jednej walucie oraz 4,40% sumy strat wobec dopuszczalnego obsunięcia 3,50%. Budżet ryzyka nie wystarcza jako jedyna reguła portfelowa — jest testem najsłabszym z całej czwórki, bo nie wie nic o zależnościach między pozycjami.

16. Pięć błędów rachunku portfelowego

Błąd 1: czytanie wyniku wzoru portfelowego jako kwoty straty

Najcięższy i najczęstszy. Wynik σ_p = 4,69% przy pięciu pozycjach po 1% ryzyka bywa opisywany jako „efektywne ryzyko 4,69%, czyli mniej niż 5% — mam margines". Nie ma marginesu: 4,69% to odchylenie standardowe dziennego wyniku przy σ = 1% na pozycję, a suma strat przy zadziałaniu pięciu wyjść wynosi 5,00% plus poślizg na każdej nodze. Test rozpoznawczy jest jednozdaniowy: jeżeli wielkość, którą podstawiłeś pod σ, to kwota, przy której zamykasz pozycję, to podstawiłeś nie to.

Błąd 2: portfel zbudowany wyłącznie z par z dolarem

Cztery pary XXX/USD po tej samej stronie to jedna ekspozycja. Nie jest to kwestia doboru — dolar jest walutą po jednej ze stron w zdecydowanej większości obrotu na rynku walutowym¹², więc para z dolarem zawsze niesie czynnik dolarowy. Rozwiązaniem nie jest szukanie par „nieskorelowanych", bo takich między parami głównymi praktycznie nie ma; rozwiązaniem jest limit na ryzyko skupione na walucie i mniejsza liczba pozycji.

Błąd 3: opieranie się na korelacji sprzed zmiany reżimu

Odczyt sprzed dwóch posiedzeń banku centralnego opisuje inny rynek. Dochodzi do tego problem pomiaru: współczynnik policzony w oknie o podwyższonej zmienności jest obciążony w górę — część zaobserwowanego skoku korelacji jest artefaktem samego wzrostu wariancji, a nie zmianą zależności². Praktyczna konsekwencja jest przewrotna: skok korelacji w oknie kryzysowym trzeba czytać ostrożnie w obie strony, a nie tylko jako potwierdzenie tezy o zbieganiu do jedności.

Błąd 4: traktowanie ujemnej korelacji jak zabezpieczenia

Przy korelacji wyników −0,91 modelowa zmienność dwóch pozycji spada do 0,34% (portfel C z sekcji 11) i bywa to opisywane jako „ryzyko efektywne 0,34% zamiast 2%". To zdanie miesza dwie wielkości. Rozproszenie dziennego wyniku faktycznie spada; suma strat przy zadziałaniu obu wyjść nie zmienia się wcale i wynosi 2,00% plus poślizg. Zmniejsza się natomiast wartość oczekiwana, bo koszt jest podwójny. Pozycja przeciwna na powiązanym instrumencie obniża modelową zmienność, ale zostawia dwa budżety wyjścia i dokłada drugi komplet kosztów.

Błąd 5: brak limitu na walutę i mylenie korelacji z przyczynowością

Oba nawyki prowadzą do tego samego. Bez limitu skupienia sześć pozycji „po 1%" składa się na jeden zakład o wartości 6% — każda z osobna zgodna z regułą, wszystkie razem nie. Drugi nawyk to dokładanie pozycji z uzasadnieniem „skoro EUR/USD poszło w górę, GBP/USD też pójdzie, bo korelacja wynosi +0,87". Współczynnik opisuje wspólny czynnik, nie następstwo: obie pary reagują na kurs dolara, ale funt ma własne czynniki, które akurat dziś mogą tę zależność rozjechać. Limit skupienia domyka oba nawyki, bo nie pyta o uzasadnienie — pyta o liczbę.

17. Zadanie samokontrolne

Portfel jest inny niż wszystkie policzone wyżej, ale trzy współczynniki korelacji pochodzą z macierzy w sekcji 4 — sprawdź je tam, zanim zaczniesz. Policz najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem.

Rozwiązanie

a) Przeniesienie znaku. Pozycje 1 i 2 są obie długie, więc znak zostaje: +0,92. Pozycja 3 jest krótka, a 1 i 2 długie, więc w obu przypadkach znak się odwraca: +0,68 i +0,60. Wszystkie trzy korelacje wyników są dodatnie — długa AUD/USD, długa NZD/USD i krótka USD/CAD to trzy pozycje krótkie na dolarze.

b) Modelowa zmienność łączna.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,36 + 0,3025 + 0,2025 = 0,8650
0,92 × 0,60 × 0,55 = 0,3036
0,68 × 0,60 × 0,45 = 0,1836
0,60 × 0,55 × 0,45 = 0,1485
2 × (0,3036 + 0,1836 + 0,1485) = 2 × 0,6357 = 1,2714

σ_p = √(0,8650 + 1,2714) = √2,1364 = 1,46% kapitału na dzień, czyli 0,0146 × 60 000 = 876 PLN. Z wartości niezaokrąglonej (1,4616%) wychodzi 877 PLN — różnica jednego złotego pochodzi wyłącznie z zaokrąglenia procentu i nie jest błędem żadnej z dwóch dróg.

Kontrola: wynik mieści się między największym pojedynczym odchyleniem (0,60%) a sumą odchyleń (1,60%) — przy czym dolna połowa tej kontroli obowiązuje tylko dlatego, że wszystkie trzy korelacje wyników wyszły dodatnie; przy ujemnych przestaje wiązać, co widać na portfelu C z sekcji 11. Przy niezależności wyszłoby √0,8650 = 0,93% — zależność podnosi modelową zmienność o 57%.

c) Suma strat przy zadziałaniu wszystkich wyjść. Bez poślizgu: 3 × 750 = 2 250 PLN = 3,75% kapitału. Poślizg 8% kwoty ryzyka to 60 PLN na nogę, czyli 180 PLN łącznie: 2 250 + 180 = 2 430 PLN = 4,05% kapitału.

d) Ryzyko skupione na dolarze. Wszystkie trzy pozycje tracą przy umocnieniu dolara, więc ryzyko skupione wynosi 3 × 1,25% = 3,75% kapitału = 2 250 PLN. Limit: 3 × 1,25% = 3,75%. Portfel stoi dokładnie na granicy — czwarta pozycja z ekspozycją na dolara po tej samej stronie już się nie mieści, niezależnie od tego, jak dobra byłaby jej reguła wejścia.

e) Podstawą planowania kapitału jest liczba z punktu (c): 4,05%. Modelowa zmienność 1,46% opisuje rozrzut dziennego wyniku przy ciągłym handlu i jest o 64% niższa od kwoty, która realnie zejdzie z rachunku, jeżeli wszystkie trzy wyjścia zadziałają w tej samej sesji.

f) Drugie okno pomiaru. Współczynniki 30-sesyjne +0,78 / +0,54 / +0,46 dają człon mieszany 2 × 0,5171 = 1,0341 i σ_p = √(0,8650 + 1,0341) = √1,8991 = 1,38%, czyli 827 PLN. Ten sam portfel, mierzony na dwóch oknach, ma więc modelową zmienność 877 PLN albo 827 PLN — różnica bierze się wyłącznie z wyboru okna. Czy współczynniki naprawdę się zmieniły? Błędy standardowe policzone osobno: dla okna 90-sesyjnego 0,016 / 0,057 / 0,068, dla 30-sesyjnego 0,074 / 0,134 / 0,149; progi dwóch błędów standardowych różnicy — przy założeniu prób rozłącznych, spełnionym tu tylko częściowo, bo krótsze okno zawiera się w dłuższym — wynoszą 0,15 / 0,29 / 0,33, a różnice odczytów to trzy razy 0,14. Żadna nie przekracza progu: z tych prób nie da się rozstrzygnąć, czy zależność w ogóle się zmieniła. Orientacyjna granica górna wrażliwości: przesunięcie wszystkich trzech współczynników 90-sesyjnych w górę o 0,14 (z przycięciem do 1,00) daje ρ = 1,00 / 0,82 / 0,74 i σ_p = √(0,8650 + 1,4691) = √2,3341 = 1,53%, czyli 917 PLN — rozstęp od 827 do 917 PLN przy punktowym oszacowaniu 877 PLN. Odpowiedź z punktu (e) nie zmienia się ani o krok: suma strat pozostaje 4,05% we wszystkich wariantach, bo nie zależy od korelacji w żaden sposób. Na tym polega przewaga liczby, która planuje kapitał — nie dziedziczy niepewności pomiaru.

18. Co z tego wynika

Cała treść tego artykułu mieści się w dwóch liczbach i jednym rozgraniczeniu między nimi. Modelowa zmienność łączna odpowiada na pytanie, jak bardzo rozjeżdża się dzienny wynik portfela — i służy do porównywania składów portfela między sobą. Suma strat przy jednoczesnym zadziałaniu wszystkich wyjść obronnych, powiększona o poślizg i lukę na każdej nodze, odpowiada na pytanie, ile zejdzie z rachunku — i to nią planuje się kapitał oraz limity. Pierwsza liczba zależy od korelacji. Druga nie zależy od niej wcale.

Cztery czynności, które z tego wynikają, mają postać rachunku, a nie zalecenia. Rozłóż pozycje na waluty składowe z poprawnym znakiem i policz ekspozycję netto na każdą walutę w walucie rachunku — bez tego nie wiesz, ile masz zakładów. Policz ryzyko skupione na każdej walucie jako sumę kwot ryzyka pozycji, które tracą przy ruchu tej waluty w jedną stronę, i porównaj z zapisanym z góry limitem. Zapisz przy każdym współczynniku korelacji cztery parametry pomiaru i datę, bo bez nich odczyt nie jest odtwarzalny ani porównywalny. Przenieś znak z kierunków pozycji, zanim cokolwiek podstawisz do wzoru.

Warto też wiedzieć, czego ten rachunek nie da. Nie powie ci, ile naprawdę ryzykujesz — bo korelacja policzona historycznie tego nie mówi, a sekcja 9 pokazuje, dlaczego. Powie ci coś węższego: ile zejdzie z rachunku, jeżeli wszystkie twoje hipotezy padną w tej samej sesji — w scenariuszu z przyjętym poślizgiem i bez luki; przy luce więcej, a górnego ograniczenia ten rachunek nie zna. Jeżeli ta liczba przekracza obsunięcie, które jesteś w stanie utrzymać, redukujesz liczbę pozycji albo kwotę ryzyka na każdej — bo to są jedyne dwa parametry, które ją zmieniają.

W następnym artykule zajmiemy się tym, co dzieje się poniżej dolnej krawędzi tego rachunku: mechanizmem luki, stratą przy przeskoku większym niż odległość wyjścia obronnego i granicami miar, które próbują opisać ogon rozkładu.

Jarosław Wasiński

Redaktor naczelny MyBank.pl • Analityk finansowy i rynkowy

mgr Jarosław Wasiński — niezależny analityk i praktyk z ponad 20-letnim doświadczeniem w sektorze finansowym. Twórca i redaktor naczelny portalu MyBank.pl, dostarczającego rzetelną wiedzę o finansach osobistych, bankowości i inwestycjach od 2004 roku.

• Bankowość i produkty finansowe: porównania kont osobistych i firmowych, analiza taryf opłat, testy aplikacji mobilnych, recenzje kredytów, lokat i kart kredytowych — z naciskiem na realne koszty i ukryte opłaty.
• Rynki finansowe i makroekonomia: analiza fundamentalna rynków walutowych (Forex) i makroekonomicznych od 2007 roku, zarządzanie ryzykiem kapitału, struktura rynków OTC.
• Kryptowaluty: analiza rynku kryptowalut, mechanizmów blockchain i tokenizacji aktywów w kontekście portfela inwestycyjnego.

Autor setek komentarzy rynkowych, analiz porównawczych produktów bankowych i materiałów edukacyjnych. Zwolennik transparentności — każdy ranking i recenzja na MyBank.pl opiera się na jawnej metodologii i zweryfikowanych źródłach (taryfy banków, regulaminy promocji, dane NBP).

Treści mają charakter edukacyjny i informacyjny — nie stanowią porady inwestycyjnej, rekomendacji ani oferty. Decyzje finansowe podejmuj na podstawie własnej analizy i konsultacji z doradcą.